[Bayes] Một tờ tiền giả lần lượt bị hai bạn Hùng và Vương kiểm tra

Một tờ tiền giả lần lượt bị hai bạn Hùng và Vương kiểm tra. Xác suất để bạn Hùng phát hiện ra tờ này giả là 0,55. Nếu bạn Hùng cho rằng tờ này tiền giả, thì xác suất để bạn Vương cũng nhận định như thế là 0,56. Ngược lại, nếu bạn Hùng cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để bạn Vương cũng nhận định như thế là 0,21. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau (các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):

*a) Xác suất để bạn Hùng không phát hiện ra tờ tiền đó giả là 0,45.

*b) Xác suất để hai người này đều không phát hiện đây là tờ tiền giả là ${0,09}$.

*c) Xác suất để ít nhất một trong hai người này phát hiện ra tờ tiền đó là giả là ${0,91}$.

*d) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, xác suất để Bạn Hùng phát hiện ra nó giả là ${0,61}$.

Lời giải: a) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.
Xác suất để bạn Hùng không phát hiện ra tờ tiền đó giả là: $1-0,55=0,45$.
b) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.
Gọi ${A}$ là biến cố “Bạn Hùng phát hiện ra tờ tiền là giả”.
Gọi ${B}$ là biến cố “Bạn Vương phát hiện ra tờ tiền là giả”.
$P(A)=0,55, P(\overline{A})=0,45, P(B|A)=0,56, P(\overline{B}|\overline{A})=0,21$.
Xác suất để hai người này đều không phát hiện đây là tờ tiền giả là:
$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A}).P(\overline{B}|\overline{A})=0,45.0,21=0,09$.
c) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.
Xác suất để ít nhất một trong hai người này phát hiện ra tờ tiền đó là giả là:
$P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\overline{B})=1-0,09=0,91$
d) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.
$A\cup B$ là biến cố tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả.
$P\left(A|(A\cup B)\right)=\dfrac{P\left(A\cap (A\cup B) \right) }{P(A\cup B)}=\dfrac{P(A)}{P(A\cup B)}=\dfrac{0,55}{0,91}=0,61$.
(Đúng) Xác suất để bạn Hùng không phát hiện ra tờ tiền đó giả là 0,45
(Đúng) Xác suất để hai người này đều không phát hiện đây là tờ tiền giả là ${0,09}$
(Đúng) Xác suất để ít nhất một trong hai người này phát hiện ra tờ tiền đó là giả là ${0,91}$
(Đúng) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, xác suất để Bạn Hùng phát hiện ra nó giả là ${0,61}$