[Bayes] Một thống kê cho thất tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ là $0,5 \%$

Một thống kê cho thất tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ là $0,5 \%$. Bà N đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo $Y$ và nhận được kết quả âm tính. Biết rằng, nếu mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ thì với xác suất $0,94$ xét nghiệm dương tính; nếu không bị bệnh hiểm nghèo $Y$ thì với xác suất $0{,}97$ xét nghiệm là âm tính. Khẳng định nào sau đây đúng?

*a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của bà $N$ là $0{,}995$.

b) Xác suất để bà N có xét nghiệm là âm tính nếu bà $N$ bị bệnh $Y$ là $0{,}03$.

c) Xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính là $0{,}9$.

*d) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của bà $N$ là $99{,}97 \%$.

Lời giải:
(Đúng) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của bà $N$ là $0{,}995$
(Vì):
Theo đề bài ta có $\mathrm{P}(A) =0,005$. Vì vậy trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của bà $N$ là
$\mathrm{P}(\overline{A}) =1-\mathrm{P}(A) =1-0{,}005 =0{,}9995.$
(Sai) Xác suất để bà N có xét nghiệm là âm tính nếu bà $N$ bị bệnh $Y$ là $0{,}03$
(Vì):
Theo đề bài ta có $\mathrm{P}(B|A) =0{,}94$. Vì vậy xác suất để bà N có xét nghiệm là âm tính nếu bà $N$ bị bệnh $Y$ là
$\mathrm{P}(\overline{B}|A) =1-0{,}94 =0{,}06.$
(Sai) Xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính là $0{,}9$
(Vì): Theo đề bài ta có $\mathrm{P}(\overline{B}|\overline{A}) =0{,}97$. Xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính là
$\mathrm{P}(\overline{B}) =\mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{B}|\overline{A}) + \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(\overline{B}|A) =0{,}995\cdot 0{,}97 +0{,}005 \cdot 0{,}06 =0{,}96545.$
(Đúng) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của bà $N$ là $99{,}97 \%$
(Vì):
Theo công thức Bayes, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của bà $N$ nếu kết quả xét nghiệm âm tính là
$\mathrm{P}(\overline{A}|\overline{B}) =\dfrac{\mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{B} |\overline{A})}{ \mathrm{P}(\overline{B})} =\dfrac{0{,}995\cdot 0{,}97}{0{,}96545} = 0{,}9997.$