[Bayes] Một nhà máy có hai phân xưởng X và Y cùng sản xuất một loại sản phẩm

Một nhà máy có hai phân xưởng X và Y cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng X sản xuất $60\%$ và phân xưởng Y sản xuất $40\%$ tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng X, phân xưởng Y lần lượt là 10% và 5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.

a) Xác suất lấy được sản phẩm phẩm tốt, biết sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất bằng 95%.

b) Xác suất lấy được phế phẩm là 10%.

*c) Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất bằng 75%.

*d) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất.

Lời giải: a) Sai: Xác suất lấy được sản phẩm phẩm tốt, biết sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất là xác suất có điều kiện $P\left(\overline{B}\left|A\right.\right) = 1- P\left(B\left|A\right.\right) = 90\%$.
b) Sai: Xác suất lấy được phế phẩm là
$P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B\left|A\right.\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B\left|\overline{A}\right.\right) = 60\%.10\%+ 40\%.5\% = 8\%$.
c) Đúng: Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất là xác suất có điều kiện $P\left(A\left|B\right.\right)$. Ta có: $P\left(A\left|B\right.\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B\left|A\right.\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{60\%.10\%}{8\%} = 75\%$
d) Đúng:Ta có $P\left(\overline{B}\right) = 1- P\left(B\right) = 1- 8\% = 92\%$ ; $P\left(\overline{B}\left|A\right.\right) = 90\%$ ;
$P\left(\overline{B}\left|\overline{A}\right.\right) = 1- P\left(B\left|\overline{A}\right.\right) = 1- 5\% = 95\%$.
Nếu lấy được sản phẩm tốt thì:
Xác suất sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất là $P\left(A\left|\overline{B}\right.\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(\overline{B}\left|A\right.\right)}{P\left(\overline{B}\right)} = \dfrac{60\%.90\%}{92\%} = \dfrac{27}{46}$
Xác suất sản phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất là $P\left(\overline{A}\left|\overline{B}\right.\right) = \dfrac{P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\left|\overline{A}\right.\right)}{P\left(\overline{B}\right)} = \dfrac{40\%.95\%}{92\%} = \dfrac{19}{46}$
Vì $\dfrac{27}{46} {>} \dfrac{19}{46}$ nên nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất.
(Sai) Xác suất lấy được sản phẩm phẩm tốt, biết sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất bằng 95%.
(Sai) Xác suất lấy được phế phẩm là 10%.
(Đúng) Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất bằng 75%.
(Đúng) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng X sản xuất cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng Y sản xuất.