[Bayes] Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với $76,2\%$ các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với $99,1\%$ các ca thực sự không nhiễm virus

Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với $76,2\%$ các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với $99,1\%$ các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là $1\%$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của các ca thực sự nhiễm virus là $0,23$.

*b) Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của các ca thực sự không nhiễm virus là: $0,009$.

*c) Xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là: $0,017$.

*d) Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $\dfrac{381}{850}$.

Lời giải: a) Sai: Do xét nghiệm cho kết quả dương tính với $76,2\%$ các ca thực sự nhiễm virus nên Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của các ca thực sự nhiễm virus là: $P\left(\widehat{A}\left|B\right.\right) = 0,238$.
b) Đúng: Do xét nghiệm cho kết quả âm tính với $99,1\%$ các ca thực sự không nhiễm virus nên
$P\left(\overline{A}\left|\overline{B}\right.\right) = 0,991$. Suy ra $P\left(A\left|\overline{B}\right.\right) = 1- 0,991 = 0,009$.
Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của các ca thực sự không nhiễm virus là: $0,009$.
c) Đúng: Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là $1\%$ nên $P\left(B\right) = 0,01$ và $P\left(\overline{B}\right) = 0,99$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là: $P\left(A\right) = P\left(B\right)P\left(A\left|B\right.\right)+ P\left(\overline{B}\right)P\left(A\left|\overline{B}\right.\right) = 0,01.0,762+ 0,99.0,009 = 0,01653\approx 0,017$
d) Đúng: Xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi có kết quả chuẩn đoán là dương tính là
Ta có: $P\left(B|A\right) = \dfrac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)P\left(A\left|B\right.\right)+ P\left(\overline{B}\right)P\left(A\left|\overline{B}\right.\right)} = \dfrac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)} = \dfrac{0,01.0,762}{0,017} = \dfrac{381}{850}$.
(Sai) Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của các ca thực sự nhiễm virus là $0,23$.
(Đúng) Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của các ca thực sự không nhiễm virus là: $0,009$.
(Đúng) Xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là: $0,017$.
(Đúng) Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $\dfrac{381}{850}$