[Bayes] Một căn bệnh X có 1% dân số mắc phải

Một căn bệnh X có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh X, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

*A. $0,5$.

B. $0,65$.

C. $0,4$.

D. $0,35$.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “người đó mắc bệnh”, $B$ là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”
Theo công thức Bayes ta có $P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right)}$.
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra là $P\left(A\right) = 1\% = 0,01$. Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra là $P\left(\widehat{A}\right) = 1- 0,01 = 0,99$.
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là $P\left(B|A\right) = 99\% = 0,99$. Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là $P\left(B|\widehat{A}\right) = 1- 0,99 = 0,01$.
Xác suất để người đó thực sự bị bệnh là
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right)} = \dfrac{0,01.0,99}{0,01.0,99+ 0,99.0,01} = 0,5$.