[Bayes] Một căn bệnh có $2\%$ dân số mắc phải

Một căn bệnh có $2\%$ dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\%$. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\%$ số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoàn đúng $97\%$. Lấy một người đi kiểm tra.

*a) Xác suất để người đó mắc bệnh là $0{,}02$.

*b) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là $0{,}99$.

c) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là $0{,}01$.

d) Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $0{,}25$.

Lời giải:
(Đúng) Xác suất để người đó mắc bệnh là $0{,}02$
(Vì):
Xác suất để người được chọn mắc bệnh là $\mathrm{P}\left(\overline{B}\right)=2\%$.
(Đúng) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là $0{,}99$
(Vì):
Xác suất kết quả dương tính nều người đó mắc bệnh là $\mathrm{P}(D\mid B)=99\%$.
(Sai) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là $0{,}01$
(Vì):
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là $\mathrm{P}\left(\overline{D}\mid \overline{B}\right)=1-\mathrm{P}\left(D\mid \overline{B}\right)=3\%$.
(Sai) Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $0{,}25$
(Vì):
Xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $\mathrm{P}(B\mid D)$.
Áp dụng công thức Bayes
$\mathrm{P}(B\mid D)=\dfrac{\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(D\mid B)}{\mathrm{P}(D)}=0{,}02.$