[Bayes] Một căn bệnh có $1\%$ dân số mắc phải

Một căn bệnh có $1\%$ dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là: Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $98\%$. Với những người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 98 trong 100 trường hợp không mắc bệnh (tức là có 2 người không mắc bệnh nhưng xuất hiện dương tính “giả”). Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?
Đáp án: 0,33

Lời giải: Gọi biến cố $A:$ “Người đó mắc bệnh”,
biến cố $B:$ “Kết quả kiểm tra của người đó là dương tính”.
Ta cần tìm $P\left(A|B\right)$ : xác suất một người bị bệnh trong điều kiện người đó kiểm tra kết quả là dương tính.
Căn bệnh có $1\%$ dân số mắc phải nên xác suất để một người mắc bệnh là $P\left(A\right) = 1\%$.
Xác suất để người đó không mắc bệnh là $P\left(\overline{A}\right) = 99\%$.
$P\left(B|A\right) = 98\%$ : xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh.
$P\left(B|\overline{A}\right) = 2\%$ : xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh.
Theo công thức Bayes:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)} = \dfrac{0,01.0,98}{0,01.0,98+ 0,99.0,02} = \dfrac{49}{148}\approx 33\%$.
Vậy xác suất để người đó mắc bệnh nếu kết quả dương tính là $33\%$.