[Bayes] Một bệnh viện sử dụng một xét nghiệm để phát hiện một loại bệnh với độ chính xác là $95\%$ (nghĩa là $95\%$ bệnh nhân mắc bệnh sẽ có kết quả dương tính)

Một bệnh viện sử dụng một xét nghiệm để phát hiện một loại bệnh với độ chính xác là $95\%$ (nghĩa là $95\%$ bệnh nhân mắc bệnh sẽ có kết quả dương tính). Xét nghiệm này cũng có tỷ lệ dương tính giả là $2\%$ (nghĩa là $2\%$ bệnh nhân không mắc bệnh cũng có kết quả dương tính). Biết rằng $1\%$ dân số thực sự mắc bệnh này. Nếu một người nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất thực sự người đó mắc bệnh là bao nhiêu?

*A. Khoảng $32\%$.

B. Khoảng $83\%$.

C. Khoảng $47\%$.

D. Khoảng $95\%$.

Lời giải: Để giải câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng công thức Bayes.
Gọi $B$ là biến cố người mắc bệnh, có $P\left(B\right) = 1\% = 0,01$.
$\overline{B}$ là biến cố người không mắc bệnh, có $P\left(\overline{B}\right) = 1- P\left(B\right) = 1- 0,01 = 0,99$.
Gọi $D$ là biến cố người đó được xét nghiệm có kết quả dương tính. Khi đó
Xác suất xét nghiệm dương tính nếu mắc bệnh là $P\left(D|B\right) = 95\% = 0,95$.
Xác suất xét nghiệm dương tính nếu không mắc bệnh là $P\left(D|\overline{B}\right) = 2\% = 0,02$.
Dùng công thức Bayes để tính xác suất mắc bệnh khi có kết quả xét nghiệm dương tính:
$P\left(B|D\right) = \dfrac{P\left(B\right) . P\left(D|B\right)}{P\left(D\right)}$
$P\left(D\right) = P\left(B\right) . P\left(D|B\right)+ P\left(\overline{B}\right) . P\left(D|\overline{B}\right) = 0,95.0,01+ 0,02.0,99 = 0,0293$.
Suy ra: $P\left(B|D\right) = \dfrac{0,95 .0,01}{0,0293}\approx 0,3242$.
Vậy xác suất người đó thực sự mắc bệnh là khoảng $32\%$.