[Bayes] Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ

Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai. Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “ lấy được một viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất “ và $B$ là biến cố “ lấy được hai viên bi màu đỏ ở hộp thứ hai”
Khi đó ta có $P\left(A\right) = \dfrac{1}{3}$ thì $P\left(B|A\right) = \dfrac{C_{7}^{2}}{C_{11}^{2}} = \dfrac{21}{55}$.
Suy ra $P\left(\overline{A}\right) = 1- P\left(A\right) = \dfrac{2}{3}$ thì $P\left(B|\overline{A}\right) = \dfrac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \dfrac{28}{55}$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có
$P\left(B\right) = P\left(A\right)P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right)P\left(B|\overline{A}\right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{21}{55}+ \dfrac{2}{3}.\dfrac{28}{55} = \dfrac{7}{15}$.
Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ bằng
$P\left(\overline{A}|B\right) = \dfrac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{\dfrac{2}{3}.\dfrac{28}{55}}{\dfrac{7}{15}} = \dfrac{8}{11}$.