Một trang trại nuôi gà sạch tại Thành Phố cung cấp thịt gà cho các siêu thị lớn. Qua khảo sát thị trường, trang trại nhận thấy: Nếu bán với giá $60$ nghìn đồng/kg thì mỗi ngày có $50$ siêu thị đặt mua và mỗi siêu thị mua trung bình $100$ kg.

1. Đề bài gốc từ hình ảnh

Dưới đây là nội dung chi tiết bài toán thực tế được trích xuất từ đề thi:

2. Dạng toán và kiến thức liên quan

• Dạng toán chính: Bài toán tối ưu hóa kinh tế thực tế – Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số đa thức bậc ba.
• Kiến thức áp dụng: Khảo sát hàm số lớp 12, ứng dụng đạo hàm tìm cực trị / GTLN – GTNN, bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương.

3. Phương pháp giải và lý thuyết cần nhớ

Để giải quyết bài toán tối ưu hóa kinh tế, ta thực hiện theo các bước chuẩn:

1. Chọn biến số thích hợp: Gọi $x$ là số lần tăng/giảm giá (mỗi lần thay đổi một lượng $\Delta p$) hoặc gọi trực tiếp $p$ là đơn giá bán mới.
2. Thiết lập các hàm phụ thuộc:
   • Đơn giá bán: $p(x) = p_0 + kx$.
   • Lợi nhuận trên một đơn vị sản phẩm: $\Delta L(x) = p(x) – c$ (với $c$ là chi phí sản xuất/vận chuyển).
   • Số lượng khách hàng (hoặc đối tác): $N(x) = N_0 – a x$.
   • Khối lượng mỗi khách hàng mua: $q(x) = q_0 – b x$.
   • Tổng lượng hàng bán ra: $Q(x) = N(x) \cdot q(x)$.
3. Thiết lập hàm mục tiêu (Hàm tổng lợi nhuận):$$L(x) = \Delta L(x) \cdot Q(x) = (p(x) – c) \cdot N(x) \cdot q(x)$$
4. Tìm giá trị lớn nhất: Tính đạo hàm $L'(x)$, giải phương trình $L'(x) = 0$, lập bảng biến thiên hoặc dùng bất đẳng thức AM-GM để xác định điểm cực đại.
5. Kết luận: Thay giá trị $x$ tối ưu vào biểu thức tính giá bán $p(x)$ và làm tròn theo yêu cầu.

4. Lời giải chi tiết bài toán gốc trong ảnh

Gọi $x$ là số lần tăng giá (mỗi lần tăng $2$ nghìn đồng/kg, $x \in \mathbb{R}$). Nếu $x < 0$, ta hiểu là thực hiện giảm giá $|x|$ lần.

• Giá bán mỗi kg thịt gà là: $$p(x) = 60 + 2x \text{ (nghìn đồng/kg)}$$
• Lợi nhuận thu được trên mỗi kg thịt gà bán ra là: $$\Delta L(x) = p(x) – 30 = (60 + 2x) – 30 = 30 + 2x \text{ (nghìn đồng/kg)}$$
• Số siêu thị đặt mua trong một ngày là: $$N(x) = 50 – 2x \text{ (siêu thị)}$$
• Số lượng gà trung bình mỗi siêu thị đặt mua là: $$q(x) = 100 – 4x \text{ (kg)}$$

Điều kiện thực tế: $N(x) > 0 \iff 50 – 2x > 0 \iff x < 25$ và $q(x) > 0 \iff 100 – 4x > 0 \iff x < 25$. Đồng thời để có lãi thì $30 + 2x > 0 \iff x > -15$. Do đó: $x \in (-15; 25)$.

Tổng sản lượng gà bán ra mỗi ngày là:$$Q(x) = N(x) \cdot q(x) = (50 – 2x)(100 – 4x) = 2(25 – x) \cdot 4(25 – x) = 8(25 – x)^2 \text{ (kg)}$$

Tổng lợi nhuận mỗi ngày của trang trại là:$$L(x) = \Delta L(x) \cdot Q(x) = (30 + 2x) \cdot 8(25 – x)^2 = 16(15 + x)(25 – x)^2 \text{ (nghìn đồng)}$$

Xét hàm số $f(x) = (x + 15)(25 – x)^2$ trên khoảng $(-15; 25)$:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm

$$f'(x) = 1 \cdot (25 – x)^2 + (x + 15) \cdot 2(25 – x)(-1) = (25 – x) \big[(25 – x) – 2(x + 15)\big]$$$$f'(x) = (25 – x)(25 – x – 2x – 30) = (25 – x)(-3x – 5)$$

Cho $f'(x) = 0 \iff \left[ \begin{array}{l} x = 25 \text{ (loại vì } x \in (-15; 25)\text{)} \\ x = -\dfrac{5}{3} \text{ (nhận)} \end{array} \right.$

Bảng xét dấu $f'(x)$ trên $(-15; 25)$ cho thấy $f'(x) > 0$ khi $x \in \left(-15; -\dfrac{5}{3}\right)$ và $f'(x) < 0$ khi $x \in \left(-\dfrac{5}{3}; 25\right)$. Do đó hàm số $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = -\dfrac{5}{3}$.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Vì $x \in (-15; 25)$ nên $2x + 30 > 0$ và $25 – x > 0$. Ta có:$$2f(x) = (2x + 30)(25 – x)(25 – x) \le \left( \frac{(2x + 30) + (25 – x) + (25 – x)}{3} \right)^3 = \left( \frac{80}{3} \right)^3$$Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$$2x + 30 = 25 – x \iff 3x = -5 \iff x = -\frac{5}{3}$$

Khi đó, giá bán tối ưu của mỗi kg thịt gà là:$$p\left(-\frac{5}{3}\right) = 60 + 2\left(-\frac{5}{3}\right) = 60 – \frac{10}{3} = \frac{170}{3} \approx 56{,}667 \text{ (nghìn đồng/kg)}$$

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được giá bán cần tìm là: $56{,}7$ nghìn đồng/kg.

Đáp số điền ô kết quả: $56.7$

5. Tuyển tập 5 bài toán tương tự rèn luyện kỹ năng

Bài 1 (Mức độ thông hiểu – vận dụng)

Một xưởng may bán mỗi chiếc áo sơ mi với giá $200$ nghìn đồng thì mỗi tháng có $40$ đại lý nhập hàng, mỗi đại lý mua trung bình $500$ chiếc. Cứ mỗi lần tăng giá thêm $10$ nghìn đồng/chiếc thì số đại lý giảm đi $1$ và mỗi đại lý đặt mua ít hơn $10$ chiếc; ngược lại, cứ giảm giá $10$ nghìn đồng/chiếc thì số đại lý tăng thêm $1$ và mỗi đại lý mua nhiều hơn $10$ chiếc. Biết chi phí sản xuất mỗi chiếc áo là $120$ nghìn đồng. Hỏi để lợi nhuận mỗi tháng đạt cao nhất, xưởng may cần bán mỗi chiếc áo với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Xem lời giải chi tiết Bài 1

Gọi $x$ là số lần tăng giá bán (mỗi lần tăng $10$ nghìn đồng, $x \in \mathbb{R}$).

• Giá bán mới: $p(x) = 200 + 10x$ (nghìn đồng/chiếc).
• Lãi trên một chiếc áo: $\Delta L(x) = (200 + 10x) – 120 = 80 + 10x = 10(x + 8)$ (nghìn đồng).
• Số đại lý mua: $N(x) = 40 – x$ (đại lý). Điều kiện: $x < 40$.
• Số áo mỗi đại lý mua: $q(x) = 500 – 10x = 10(50 – x)$ (chiếc). Điều kiện: $x < 50$.
• Điều kiện để có lãi: $x > -8$. Vậy $x \in (-8; 40)$.

Tổng lợi nhuận mỗi tháng:$$L(x) = \Delta L(x) \cdot N(x) \cdot q(x) = 10(x + 8) \cdot (40 – x) \cdot 10(50 – x) = 100(x + 8)(40 – x)(50 – x)$$Xét hàm $g(x) = (x + 8)(40 – x)(50 – x) = (x + 8)(x^2 – 90x + 2000) = x^3 – 82x^2 + 1280x + 16000$.

Đạo hàm:$$g'(x) = 3x^2 – 164x + 1280$$Phương trình $g'(x) = 0$ có nghiệm:$$\Delta’ = (-82)^2 – 3 \cdot 1280 = 6724 – 3840 = 2884 \implies x = \frac{82 – \sqrt{2884}}{3} \approx 9{,}43 \text{ hoặc } x = \frac{82 + \sqrt{2884}}{3} \approx 45{,}23$$Vì $x \in (-8; 40)$ nên ta nhận $x = \frac{82 – \sqrt{2884}}{3} \approx 9{,}43$.

Giá bán mỗi chiếc áo để lợi nhuận lớn nhất là:$$p = 200 + 10 \cdot 9{,}43 = 294{,}3 \text{ nghìn đồng.}$$

Bài 2 (Mức độ vận dụng)

Một công ty nước giải khát bán sản phẩm lon nước ép với giá $12$ nghìn đồng/lon thì mỗi tuần tiêu thụ được $60000$ lon. Khảo sát thị trường cho thấy: Cứ mỗi lần giảm giá $1$ nghìn đồng/lon thì lượng tiêu thụ tăng thêm $15000$ lon. Chi phí sản xuất một lon là $6$ nghìn đồng. Để tối đa hóa lợi nhuận trong một tuần, công ty nên bán mỗi lon nước ép với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Xem lời giải chi tiết Bài 2

Gọi $x$ là số lần giảm giá (mỗi lần giảm $1$ nghìn đồng/lon, $x \in \mathbb{R}$).

• Giá bán mới: $p(x) = 12 – x$ (nghìn đồng/lon).
• Lợi nhuận trên một lon: $\Delta L(x) = (12 – x) – 6 = 6 – x$ (nghìn đồng).
• Số lon bán ra mỗi tuần: $Q(x) = 60000 + 15000x = 15000(4 + x)$ (lon).
• Điều kiện: $6 – x > 0 \implies x < 6$ và $4 + x > 0 \implies x > -4$. Do đó $x \in (-4; 6)$.

Tổng lợi nhuận mỗi tuần:$$L(x) = \Delta L(x) \cdot Q(x) = (6 – x) \cdot 15000(4 + x) = 15000(6 – x)(4 + x)$$Ta có: $(6 – x)(4 + x) = -(x^2 – 2x – 24) = -(x – 1)^2 + 25 \le 25$.

Đẳng thức xảy ra khi $x = 1$ (thỏa mãn $-4 < x < 6$).

Vậy công ty nên giảm giá $1$ nghìn đồng/lon, tức là bán với giá:$$p = 12 – 1 = 11 \text{ (nghìn đồng/lon).}$$

Bài 3 (Mức độ vận dụng)

Một công ty du lịch tổ chức tour tham quan với chi phí cố định cho phương tiện và hướng dẫn viên là $12$ triệu đồng cho một chuyến xe $45$ chỗ. Nếu giá vé là $500$ nghìn đồng/người thì có $30$ người tham gia. Cứ mỗi lần giảm giá vé $20$ nghìn đồng thì có thêm $2$ khách đăng ký tham gia (xe chở tối đa $45$ khách). Hỏi công ty nên bán vé với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận thu được từ chuyến đi là cao nhất?

Xem lời giải chi tiết Bài 3

Gọi $x$ là số lần giảm giá vé $20$ nghìn đồng ($x \ge 0$).

• Giá vé mỗi người: $p(x) = 500 – 20x$ (nghìn đồng).
• Số lượng khách tham gia: $N(x) = 30 + 2x$ (khách).
• Vì xe tối đa $45$ khách nên: $30 + 2x \le 45 \iff 2x \le 15 \iff x \le 7{,}5$. Vì $x \ge 0$ nên $x \in [0; 7{,}5]$.
• Doanh thu: $R(x) = p(x) \cdot N(x) = (500 – 20x)(30 + 2x)$ (nghìn đồng).
• Chi phí cố định là $12000$ nghìn đồng.
• Lợi nhuận: $L(x) = R(x) – 12000 = (500 – 20x)(30 + 2x) – 12000 = -40x^2 + 400x + 15000 – 12000 = -40x^2 + 400x + 3000$.

Tam thức bậc hai $L(x) = -40x^2 + 400x + 3000$ có đỉnh tại:$$x = -\frac{400}{2(-40)} = 5 \in [0; 7{,}5]$$

Tại $x = 5$, số khách là $30 + 2(5) = 40 \le 45$ (thỏa mãn điều kiện xe).

Vậy giá vé tối ưu là:$$p(5) = 500 – 20(5) = 400 \text{ (nghìn đồng).}$$

Bài 4 (Mức độ vận dụng cao)

Một tòa nhà chung cư mini có $60$ căn hộ cho thuê. Nếu giá thuê mỗi căn hộ là $4$ triệu đồng/tháng thì tất cả các phòng đều được thuê hết. Cứ tăng giá thuê thêm $200$ nghìn đồng/tháng cho mỗi căn hộ thì có thêm $2$ căn hộ bị bỏ trống. Biết rằng chi phí bảo trì và quản lý cho mỗi căn hộ có người ở là $400$ nghìn đồng/tháng. Hỏi chủ tòa nhà nên ấn định giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng/tháng để tổng lợi nhuận thu được hàng tháng là lớn nhất?

Xem lời giải chi tiết Bài 4

Đổi đơn vị tính: triệu đồng/tháng. Chi phí bảo trì mỗi phòng có khách: $0{,}4$ triệu đồng/tháng.

Gọi $x$ là số lần tăng giá $0{,}2$ triệu đồng/tháng ($x \in \mathbb{R}$).

• Giá thuê mỗi căn hộ: $p(x) = 4 + 0{,}2x$ (triệu đồng/tháng).
• Lợi nhuận ròng trên mỗi căn hộ được thuê: $\Delta L(x) = (4 + 0{,}2x) – 0{,}4 = 3{,}6 + 0{,}2x$ (triệu đồng).
• Số căn hộ được thuê: $N(x) = 60 – 2x$ (căn). Điều kiện: $0 \le x \le 30$.

Tổng lợi nhuận mỗi tháng:$$L(x) = (3{,}6 + 0{,}2x)(60 – 2x) = 0{,}2(18 + x) \cdot 2(30 – x) = 0{,}4(18 + x)(30 – x)$$Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc xét đỉnh parabol:$$g(x) = (18 + x)(30 – x) \le \left( \frac{(18 + x) + (30 – x)}{2} \right)^2 = \left( \frac{48}{2} \right)^2 = 24^2 = 576$$Đẳng thức xảy ra khi:$$18 + x = 30 – x \iff 2x = 12 \iff x = 6 \text{ (thỏa mãn } 0 \le x \le 30\text{)}$$

Vậy giá thuê mỗi căn hộ tối ưu là:$$p(6) = 4 + 0{,}2 \cdot 6 = 5{,}2 \text{ (triệu đồng/tháng).}$$

Bài 5 (Mức độ vận dụng)

Một trang trại trồng cam chuyên canh bán cam với giá ban đầu là $25$ nghìn đồng/kg. Tại mức giá này, mỗi ngày có $40$ thương lái đến mua và mỗi thương lái mua trung bình $80$ kg cam. Qua khảo sát, cứ mỗi lần tăng giá thêm $1$ nghìn đồng/kg thì số thương lái đến mua giảm đi $1$ người và mỗi người mua ít hơn $2$ kg; ngược lại nếu giảm giá $1$ nghìn đồng/kg thì số thương lái tăng thêm $1$ người và mỗi người mua nhiều hơn $2$ kg. Chi phí chăm sóc và thu hái là $10$ nghìn đồng/kg. Hỏi trang trại nên bán cam với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để thu được lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất?

Xem lời giải chi tiết Bài 5

Gọi $x$ là số lần tăng giá $1$ nghìn đồng/kg ($x \in \mathbb{R}$).

• Giá bán mỗi kg cam: $p(x) = 25 + x$ (nghìn đồng/kg).
• Lợi nhuận trên mỗi kg cam: $\Delta L(x) = (25 + x) – 10 = 15 + x$ (nghìn đồng).
• Số thương lái đến mua: $N(x) = 40 – x$ (người). Điều kiện: $x < 40$.
• Khối lượng mỗi thương lái mua: $q(x) = 80 – 2x = 2(40 – x)$ (kg). Điều kiện: $x < 40$.
• Điều kiện có lãi: $x > -15$. Vậy $x \in (-15; 40)$.

Tổng lợi nhuận mỗi ngày là:$$L(x) = (15 + x) \cdot N(x) \cdot q(x) = (15 + x)(40 – x) \cdot 2(40 – x) = 2(15 + x)(40 – x)^2$$Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương $2(15 + x)$, $40 – x$, $40 – x$:$$2(15 + x) + (40 – x) + (40 – x) = 30 + 2x + 80 – 2x = 110 \text{ (không đổi)}$$Theo AM-GM:$$2(15 + x)(40 – x)(40 – x) \le \left( \frac{110}{3} \right)^3$$Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:$$2(15 + x) = 40 – x \iff 30 + 2x = 40 – x \iff 3x = 10 \iff x = \frac{10}{3}$$Khi đó giá bán tối ưu là:$$p\left(\frac{10}{3}\right) = 25 + \frac{10}{3} = \frac{85}{3} \approx 28{,}33 \text{ nghìn đồng/kg.}$$

Làm tròn đến hàng phần mười, giá bán cần thiết là $28{,}3$ nghìn đồng/kg.