📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ và $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với mọi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), ta luôn có $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
- Khai triển bình phương: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$. Từ đó suy ra tích $\sin \alpha \cos \alpha$.
- Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) = (a + b)(1 – ab)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính giá trị của tích $\sin \alpha \cos \alpha$.
Bình phương hai vế của đẳng thức $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta được:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$
$\Leftrightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$
Vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ nên:
$1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \implies 2\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2} \implies \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$
Bước 2: Phân tích biểu thức $P$ theo tổng và tích.
Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$:
$P = \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha – \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$
$P = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 – \sin \alpha \cos \alpha)$
Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào biểu thức:
$P = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left[1 – \left(-\frac{1}{4}\right)\right] = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho góc tù $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) thỏa mãn $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Giá trị của biểu thức $E = \frac{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}{\sin \alpha - 4\cos \alpha}$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$. Ta có: $\sin \alpha = \sqrt{1 – \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 – \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$.
Thay $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ và $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ vào biểu thức $E$:
$$E = \frac{3\cdot \frac{4}{5} + 2\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)}{\frac{4}{5} – 4\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{\frac{12}{5} – \frac{6}{5}}{\frac{4}{5} + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Giá trị của biểu thức $B = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Sử dụng tính chất hai góc bù nhau: $\cos(180^\circ – x) = -\cos x$.
Ta có: $\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$, $\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$, $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$.
Do đó:
$$B = (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ) + (\cos 60^\circ + \cos 120^\circ) = 0 + 0 + 0 = 0$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 3: Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) thỏa mãn $\tan \alpha = -2$. Giá trị của biểu thức $M = \frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{4\sin \alpha + 5\cos \alpha}$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vì $\tan \alpha = -2$ xác định nên $\cos \alpha \neq 0$. Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos \alpha$:
$$M = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} – 3}{4\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 5} = \frac{2\tan \alpha – 3}{4\tan \alpha + 5}$$
Thay $\tan \alpha = -2$ vào biểu thức:
$$M = \frac{2(-2) – 3}{4(-2) + 5} = \frac{-4 – 3}{-8 + 5} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 4: Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Giá trị của tích $Q = \sin \alpha \cos \alpha$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Bình phương hai vế của $\sin \alpha – \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$:
$$(\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$$
$$\Leftrightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha – 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$$
$$\Leftrightarrow 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5} \implies 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
Suy ra $Q = \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Đơn giản biểu thức $S = \sin(180^\circ – \alpha)\cos(90^\circ – \alpha) – \cos(180^\circ – \alpha)\sin(90^\circ – \alpha)$ với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ta được kết quả là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng các mối liên hệ lượng giác:
- Hai góc bù nhau: $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos \alpha$.
- Hai góc phụ nhau: $\cos(90^\circ – \alpha) = \sin \alpha$, $\sin(90^\circ – \alpha) = \cos \alpha$.
Thay vào biểu thức $S$:
$$S = (\sin \alpha)(\sin \alpha) – (-\cos \alpha)(\cos \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi