📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm giá trị nhỏ nhất $F_{\min}$ của biểu thức $F(x; y) = 2x – y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:$$\begin{cases} x – y \ge -2 \\ 2x – y \le 4 \\ x + y \ge 2 \\ x \le 3 \end{cases}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán tối ưu hóa tuyến tính hai ẩn dạng tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất, ta áp dụng Định lý quy hoạch tuyến tính:
- Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Miền nghiệm thường là một miền đa giác (tam giác, tứ giác, ngũ giác,…).
- Bước 2: Tìm tọa độ tất cả các đỉnh của miền đa giác bằng cách giải các hệ phương trình tương ứng tạo bởi các đường biên.
- Bước 3: Tính giá trị của biểu thức mục tiêu $F(x; y) = ax + by$ tại từng đỉnh đó.
- Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính: giá trị nhỏ nhất trong số đó chính là $F_{\min}$, giá trị lớn nhất chính là $F_{\max}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:$$\begin{cases} x – y \ge -2 & (1) \\ 2x – y \le 4 & (2) \\ x + y \ge 2 & (3) \\ x \le 3 & (4) \end{cases}$$
Vẽ các đường thẳng biên tương ứng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:
- $d_1: x – y = -2 \iff y = x + 2$
- $d_2: 2x – y = 4 \iff y = 2x – 4$
- $d_3: x + y = 2 \iff y = 2 – x$
- $d_4: x = 3$
Xác định giao điểm của các cặp đường thẳng giới hạn miền nghiệm:
- Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: giải hệ $\begin{cases} x – y = -2 \\ x + y = 2 \end{cases} \implies A(0; 2)$. Kiểm tra thấy $A$ thỏa mãn các bất phương trình còn lại.
- Giao điểm của $d_2$ và $d_3$: giải hệ $\begin{cases} 2x – y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} \implies B(2; 0)$. Kiểm tra thấy $B$ thỏa mãn các bất phương trình còn lại.
- Giao điểm của $d_2$ và $d_4$: với $x = 3 \implies 2(3) – y = 4 \implies y = 2$, ta được $C(3; 2)$. Điểm $C$ thỏa mãn các điều kiện của hệ.
- Giao điểm của $d_1$ và $d_4$: với $x = 3 \implies 3 – y = -2 \implies y = 5$, ta được $D(3; 5)$. Điểm $D$ thỏa mãn các điều kiện của hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác lồi $ABCD$ (kể cả các cạnh) với bốn đỉnh:$$A(0; 2), \quad B(2; 0), \quad C(3; 2), \quad D(3; 5)$$
Tính giá trị của biểu thức $F(x; y) = 2x – y$ tại tọa độ các đỉnh:
- Tại $A(0; 2)$: $F(0; 2) = 2(0) – 2 = -2$.
- Tại $B(2; 0)$: $F(2; 0) = 2(2) – 0 = 4$.
- Tại $C(3; 2)$: $F(3; 2) = 2(3) – 2 = 4$.
- Tại $D(3; 5)$: $F(3; 5) = 2(3) – 5 = 1$.
So sánh các giá trị: $-2 < 1 < 4$. Suy ra giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ là $F_{\min} = -2$ đạt được tại điểm $A(0; 2)$.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x – 2y \le 0 \\ x + y \le 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x; y) = 3x – y$ trên miền nghiệm của hệ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Miền nghiệm là miền tam giác với các đỉnh: $O(0; 0)$, giao điểm của $x=0$ và $x+y=3$ là $M(0; 3)$, giao điểm của $x – 2y = 0$ và $x + y = 3$ là $N(2; 1)$.
Tính các giá trị $F(x; y) = 3x – y$:
– $F(0; 0) = 0$
– $F(0; 3) = -3$
– $F(2; 1) = 3(2) – 1 = 5$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $5$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x – y + 1 > 0 \\ x + 3y – 4 \le 0 \\ x > -1 \end{cases}$?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Thử lần lượt tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình:
– Với $(1; 2)$: $1 + 3(2) – 4 = 3 > 0$ (loại).
– Với $(0; 1)$: $2(0) – 1 + 1 = 0 \ngtr 0$ (loại).
– Với $(-2; 1)$: hoành độ $x = -2 < -1$ (loại).
– Với $(2; 1)$:
+ $2(2) – 1 + 1 = 4 > 0$ (thỏa mãn)
+ $2 + 3(1) – 4 = 1 \le 0$ là sai. Thử lại với điểm $P(1; 0)$ hoặc kiểm tra điểm $(0; 0)$: $2(0)-0+1=1>0$, $0+0-4=-4 \le 0$, $0 > -1$. Ở đây kiểm tra lại $(0; 0)$ thỏa mãn, còn trong các phương án trên: kiểm tra $P(0; 1)$ cho bất đẳng thức đầu $0 – 1 + 1 = 0 \ngtr 0$. Thay vào điểm $(1; 1)$: $2-1+1=2>0; 1+3-4=0 \le 0; 1 > -1$. Vì vậy xét phương án $(0; 1)$ nếu thay dấu $\ge 0$ hoặc với điểm $(1; 1)$. Trong 4 đáp án trên, hãy kiểm tra kỹ: điểm $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm. Xét lại với $(2; 0)$ hoặc $(0; 1)$. Giả sử điểm $(1; 0)$ thỏa mãn: $2-0+1=3>0, 1+0-4=-3\le 0, 1>-1$. Đáp án đúng chọn theo điểm thỏa mãn đồng thời cả 3 điều kiện.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = x – 2y$ trên miền nghiệm của hệ $\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 3 \\ x + y \ge 2 \end{cases}$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Miền nghiệm là ngũ giác với các đỉnh: $(0; 2)$, $(0; 3)$, $(4; 3)$, $(4; 0)$, $(2; 0)$.
Tính $F(x; y) = x – 2y$ tại các đỉnh:
– $F(0; 2) = 0 – 2(2) = -4$
– $F(0; 3) = 0 – 2(3) = -6$
– $F(4; 3) = 4 – 2(3) = -2$
– $F(4; 0) = 4 – 0 = 4$
– $F(2; 0) = 2 – 0 = 2$.
Do đó $F_{\min} = -6$ tại điểm $(0; 3)$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 4: Một xưởng cơ khí sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Mỗi sản phẩm $A$ cần $2$ giờ gia công và đem lại lợi nhuận $200$ nghìn đồng; mỗi sản phẩm $B$ cần $3$ giờ gia công và đem lại lợi nhuận $350$ nghìn đồng. Biết tổng thời gian gia công tối đa là $18$ giờ và xưởng chỉ sản xuất tối đa $4$ sản phẩm $B$. Lợi nhuận lớn nhất xưởng có thể đạt được là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Gọi $x, y$ lần lượt là số sản phẩm loại $A$ và $B$ cần sản xuất ($x, y \ge 0$).
Ta có hệ điều kiện: $\begin{cases} 2x + 3y \le 18 \\ 0 \le y \le 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Mục tiêu tối đa hóa hàm lợi nhuận: $L(x; y) = 200x + 350y$.
Các đỉnh của miền nghiệm gồm: $(0; 0)$, $(0; 4)$, $(3; 4)$, $(9; 0)$.
– Tại $(0; 0)$: $L = 0$.
– Tại $(0; 4)$: $L = 350(4) = 1400$.
– Tại $(3; 4)$: $L = 200(3) + 350(4) = 600 + 1400 = 2000$ nghìn đồng.
– Tại $(9; 0)$: $L = 200(9) = 1800$ nghìn đồng.
Vậy lợi nhuận lớn nhất là $2000$ nghìn đồng.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 5: Cho miền đa giác $OABC$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + y \le 6 \\ x + 2y \le 6 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T(x; y) = 5x + 4y$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Các đỉnh của tứ giác là: $O(0; 0)$, $A(3; 0)$, $B(2; 2)$, $C(0; 3)$.
Tính giá trị $T = 5x + 4y$ tại các đỉnh:
– $T(0; 0) = 0$
– $T(3; 0) = 15$
– $T(2; 2) = 5(2) + 4(2) = 18$
– $T(0; 3) = 12$.
Do đó, giá trị lớn nhất của $T$ là $18$ đạt được tại điểm $B(2; 2)$.
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi