Luyện tập đơn điệu – cực trị hàm số – Toán 12

Hàm số $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x$ có TXĐ $D=\mathbb{R}$
$\begin{array}{l} y'=-3{{x}^{2}}+4x-1 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=\dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{array}$
Bảng biến thiên:

a) Đúng. Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{3};1 \right)$ do $y' {>} 0$ trên khoảng này.
b) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, và giá trị cực đại là $y(1) = -{{(1)}^{3}}+2{{(1)}^{2}}-1=0$.
c) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\dfrac{1}{3}$. Giá trị cực tiểu là $y\left(\dfrac{1}{3}\right) = -{{\left(\dfrac{1}{3}\right)}^{3}}+2{{\left(\dfrac{1}{3}\right)}^{2}}-\dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{27}+\dfrac{2}{9}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{-1+6-9}{27} = -\dfrac{4}{27}$.
d) Sai. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{3};1 \right)$. Khoảng $\left( 0 ; \dfrac{1}{2} \right)$ chứa điểm cực tiểu $x=\dfrac{1}{3}$ và một phần của khoảng đồng biến, do đó hàm số không nghịch biến trên toàn bộ khoảng này.

${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{<}0$ $\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)$ và ${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{<}0$ $\forall x\in \left( -2;+\infty \right)$
a) Đúng. Vì ${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{<}0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)$ và $x\in \left( -2;+\infty \right)$.
b) Đúng. Vì ${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{<}0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)$ và $x\in \left( -2;+\infty \right)$.
c) Đúng. Vì ${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{<}0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)$ và $x\in \left( -2;+\infty \right)$, nên hàm số không đồng biến trên bất kỳ khoảng nào, kể cả $\mathbb{R}$.
d) Sai. Vì ${y}'=\dfrac{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{<}0$ với mọi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)$ và $x\in \left( -2;+\infty \right)$, và khoảng $\left( -4;-3 \right)$ nằm hoàn toàn trong khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$, nên hàm số nghịch biến trên $\left( -4;-3 \right)$.

Tại thời điểm $t=3\left( s \right)$ thì quãng đường $s\left( 3 \right)={{3}^{3}}-{{3.3}^{2}}+9.3=27\left( m \right)$.
Mệnh đề đúng.Ta có: $v\left( t \right)=s'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9$. Tại thời điểm $t=1\left( s \right)$ thì $v\left( 1 \right)={{3.1}^{2}}-6.1+9=6\left( {m}/{s}\; \right)$.
Mệnh đề đúng.Khi $v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9=18\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1 \\ t=3 \end{array} \right.\Rightarrow t=3$.
Tại thời điểm $t=3\left( s \right)$ thì quãng đường $s\left( 3 \right)={{3}^{3}}-{{3.3}^{2}}+9.3=27\left( m \right)$.
Mệnh đề sai.Ta có: $v\left( t \right)=s'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9$.
Xét hàm số $y=v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9$ có ${y}'=6t-6=0\Leftrightarrow t=1$.
BBT

Dựa và bảng biến thiên ta có vận tốc $v\left( t \right)$ giảm trong khoảng thời gian từ $t=0\left( s \right)$ đến $t=1\left( s \right)$. Mệnh đề sai.
a) Sai. Tại thời điểm $t=3\left( s \right)$ thì quãng đường $s\left( 3 \right)={{3}^{3}}-{{3.3}^{2}}+9.3=27\left( m \right)$.
b) Đúng. Khi $v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9=18\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1 \\ t=3 \end{array} \right.\Rightarrow t=3$. Tại thời điểm $t=3\left( s \right)$ thì quãng đường $s\left( 3 \right)={{3}^{3}}-{{3.3}^{2}}+9.3=27\left( m \right)$.
c) Sai. Ta có: $v\left( t \right)=s'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9$. Tại thời điểm $t=1\left( s \right)$ thì $v\left( 1 \right)={{3.1}^{2}}-6.1+9=6\left( {m}/{s}\; \right)$.
d) Đúng. Ta có: $v\left( t \right)=s'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9$. Xét hàm số $y=v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+9$ có ${y}'=6t-6=0\Leftrightarrow t=1$. Dựa vào bảng biến thiên ta có vận tốc $v\left( t \right)$ giảm trong khoảng thời gian từ $t=0\left( s \right)$ đến $t=1\left( s \right)$.

$v(t) = -3t^2 +18t + 12$. $v'(t) = -6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ và $v(3) = 39$. D sai.