📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{4}{x – 1}$ xác định trên khoảng $(1; 5)$. Khẳng định nào sau đây là đúng về giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1; 5)$?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f(x)$ trên một khoảng mở $(a; b)$:
- Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các nghiệm $x_0 \in (a; b)$ thỏa mãn $f'(x_0) = 0$ (hoặc các điểm làm $f'(x)$ không xác định).
- Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(a; b)$, tính giới hạn tại hai đầu mút $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ và $\lim\limits_{x \to b^-} f(x)$.
- Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN hoặc GTNN (nếu tồn tại điểm cao nhất hoặc thấp nhất tuyệt đối trên khoảng đó).
- Lưu ý: Trên khoảng $(a; b)$, hàm số không nhất thiết phải có cả GTLN và GTNN như trên đoạn $[a; b]$. Ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy nếu hàm số có dạng thích hợp.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Lập bảng biến thiên bằng đạo hàm
Hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm trên khoảng $(1; 5)$:
$$f'(x) = 1 – \frac{4}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 1)^2 – 4}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 3)(x + 1)}{(x – 1)^2}$$Giải phương trình $f'(x) = 0$ trên $(1; 5)$:
$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x – 3)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \quad (\text{do } x \in (1; 5))$$Xét dấu $f'(x)$ trên khoảng $(1; 5)$:
- Với $x \in (1; 3)$, $x – 3 < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến).
- Với $x \in (3; 5)$, $x – 3 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến).
Tính các giá trị tại điểm tới hạn và giới hạn tại các đầu mút:
- $f(3) = 3 + \dfrac{4}{3 – 1} = 3 + 2 = 5$.
- $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} \left(x + \dfrac{4}{x – 1}\right) = +\infty$.
- $\lim\limits_{x \to 5^-} f(x) = 5 + \dfrac{4}{5 – 1} = 6$.
Từ bảng biến thiên, hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $5$ tại $x = 3$, sau đó tăng lên $6$ khi $x \to 5^-$. Do đó, giá trị thấp nhất của hàm số trên khoảng $(1; 5)$ là $5$ tại $x = 3$.
$$\min\limits_{(1; 5)} f(x) = 5$$Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
Với $x \in (1; 5)$, ta có $x – 1 > 0$. Biến đổi hàm số:
$$f(x) = (x – 1) + \frac{4}{x – 1} + 1$$Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x – 1$ và $\dfrac{4}{x – 1}$:
$$(x – 1) + \frac{4}{x – 1} \ge 2\sqrt{(x – 1) \cdot \frac{4}{x – 1}} = 2 \cdot 2 = 4$$ $$\Rightarrow f(x) \ge 4 + 1 = 5$$Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$x – 1 = \frac{4}{x – 1} \Leftrightarrow (x – 1)^2 = 4 \Leftrightarrow x – 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3 \in (1; 5)$$Vậy $\min\limits_{(1; 5)} f(x) = 5$.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0; 3)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = 1 – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 – 1}{x^2}$.
Trên khoảng $(0; 3)$, $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Bảng biến thiên:
- Với $x \in (0; 1)$, $y’ < 0$ hàm số nghịch biến.
- Với $x \in (1; 3)$, $y’ > 0$ hàm số đồng biến.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ với $y(1) = 2$.
Ta có $\lim\limits_{x \to 0^+} y = +\infty$ và $y(3) = \dfrac{10}{3} > 2$, suy ra $\min\limits_{(0; 3)} y = y(1) = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^2 + 4x + 1$ trên khoảng $(0; 5)$.
Để lại phản hồi