📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 + \dfrac{16}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f(x)$ trên một khoảng $K = (a; b)$ hoặc $(a; +\infty)$:
- Cách 1 (Khảo sát hàm số):
- Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các nghiệm $x_i \in K$ thỏa mãn $f'(x_i) = 0$ (hoặc nơi $f'(x)$ không xác định).
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $K$, tính các giới hạn tại hai đầu mút của khoảng.
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN, GTNN (nếu có). Lưu ý: Nếu $f(x)$ chỉ có duy nhất 1 điểm cực trị trên $K$ và là điểm cực tiểu thì giá trị cực tiểu đó chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $K$.
- Cách 2 (Bất đẳng thức AM-GM / Cauchy): Áp dụng cho các bài toán phân tích được tích triệt tiêu biến: với $a, b, c > 0$ thì $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}$. Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Khảo sát hàm số
Xét hàm số $f(x) = x^2 + \dfrac{16}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Đạo hàm:
$$f'(x) = 2x – \frac{16}{x^2} = \frac{2x^3 – 16}{x^2}$$Giải phương trình $f'(x) = 0$ trên khoảng $(0; +\infty)$:
$$2x^3 – 16 = 0 \iff x^3 = 8 \iff x = 2 \in (0; +\infty)$$Ta có bảng xét dấu đạo hàm và biến thiên của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$:
- Với $0 < x < 2 \implies f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến.
- Với $x > 2 \implies f'(x) > 0$, hàm số đồng biến.
- Tại $x = 2$, $f(2) = 2^2 + \dfrac{16}{2} = 4 + 8 = 12$.
- Khi $x \to 0^+$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$. Khi $x \to +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $12$, sau đó tăng lên $+\infty$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0; +\infty)$ là:
$$\min_{(0; +\infty)} f(x) = f(2) = 12$$Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)
Với mọi $x > 0$, ta tách số hạng $\dfrac{16}{x} = \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x}$ để tích các số hạng triệt tiêu $x$:
$$f(x) = x^2 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x}} = 3\sqrt[3]{64} = 3 \cdot 4 = 12$$Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$x^2 = \frac{8}{x} \iff x^3 = 8 \iff x = 2 > 0$$Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $12$.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = 1 – \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 – 4}{x^2}$. Với $x \in (0; +\infty)$, $y’ = 0 \iff x = 2$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ và đồng biến trên $(2; +\infty)$.
Do đó, $\min_{(0; +\infty)} y = y(2) = 2 + \dfrac{4}{2} = 4$.
(Hoặc áp dụng BĐT Cauchy: $x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 4$, dấu “=” khi $x = 2$).
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^2 + 4x + 1$ trên khoảng $(0; 5)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hàm số bậc hai có đỉnh parabol tại hoành độ $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2 \in (0; 5)$.
Hệ số $a = -1 < 0$ nên bề lõm quay xuống, hàm số đạt cực đại toàn cục tại $x = 2$.
Giá trị cực đại: $y(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1 = 5$.
Vậy $\max_{(0; 5)} y = 5$ tại $x = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Biến đổi hàm số: $y = x + \dfrac{1}{x}$.
Với $x > 0$, theo bất đẳng thức Cauchy: $x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2$.
Đẳng thức xảy ra khi $x = \dfrac{1}{x} \iff x^2 = 1 \iff x = 1 > 0$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0; +\infty)$ bằng $2$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 – 3x + 5$ trên khoảng $(0; 2)$.
Để lại phản hồi