📌 Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$, ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Kiểm tra tính liên tục của hàm số trên đoạn $[a; b]$.
- Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm các điểm $x_1, x_2, \dots, x_k \in (a; b)$ mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
- Bước 3: Tính các giá trị $f(a), f(b), f(x_1), \dots, f(x_k)$.
- Bước 4: So sánh các giá trị đã tính:
$$\max_{[a; b]} f(x) = \max\{f(a), f(b), f(x_1), \dots\}, \quad \min_{[a; b]} f(x) = \min\{f(a), f(b), f(x_1), \dots\}$$
⚡ Nhận xét nhanh cho hàm phân thức bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d}$: Vì đạo hàm $y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$ luôn cùng dấu trên từng khoảng xác định, nên hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng đó. Do đó, trên đoạn $[a; b]$ thuộc tập xác định, GTLN và GTNN luôn đạt tại hai đầu mút $f(a)$ và $f(b)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét hàm số $y = f(x) = \frac{2x – 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$.
Hàm số xác định với mọi $x \ne -1$. Do $-1 \notin [0; 3]$ nên hàm số liên tục trên đoạn $[0; 3]$.
Bước 2: Tính đạo hàm:
$$y’ = \frac{2\cdot 1 – (-1)\cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$$
Vì $3 > 0$ và $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \in [0; 3]$ nên:
$$y’ > 0, \quad \forall x \in [0; 3]$$
Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 3]$.
Bước 3: Tính giá trị tại hai đầu mút:
- Tại $x = 0$: $f(0) = \frac{2(0) – 1}{0 + 1} = -1$.
- Tại $x = 3$: $f(3) = \frac{2(3) – 1}{3 + 1} = \frac{5}{4}$.
Bước 4: Kết luận:
$$M = \max_{[0; 3]} y = f(3) = \frac{5}{4}$$
$$m = \min_{[0; 3]} y = f(0) = -1$$
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án B ($M = \frac{5}{4};\ m = -1$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x – 3}{x + 2}$ trên đoạn $[0; 2]$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Hàm số liên tục trên $[0; 2]$. Đạo hàm $y’ = \frac{1\cdot 2 – (-3)\cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} > 0, \forall x \in [0; 2]$.
Hàm số đồng biến trên $[0; 2]$.
Do đó: $\min_{[0; 2]} y = y(0) = -\frac{3}{2}; \quad \max_{[0; 2]} y = y(2) = -\frac{1}{4}$.
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{3x – 1}{x – 2}$ trên đoạn $[3; 5]$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hàm số liên tục trên $[3; 5]$. Đạo hàm $y’ = \frac{3(-2) – (-1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2} < 0, \forall x \in [3; 5]$.
Hàm số nghịch biến trên $[3; 5]$.
Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x = 5$: $\min_{[3; 5]} y = y(5) = \frac{3(5) – 1}{5 – 2} = \frac{14}{3}$.
Bài tập 3: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 3]$ bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Hàm số liên tục trên $[1; 3]$. Đạo hàm $y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2}$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in [1; 3]$).
Tính các giá trị: $y(1) = 1 + 4 = 5$; $y(2) = 2 + 2 = 4$; $y(3) = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$.
So sánh ta được: $\max_{[1; 3]} y = y(1) = 5$ (và $\min_{[1; 3]} y = y(2) = 4$).
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = \sqrt{4 – x^2}$ trên đoạn $[-1; 2]$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Hàm số xác định và liên tục trên $[-1; 2]$. Với $x \in (-1; 2)$, ta có: $y’ = \frac{-x}{\sqrt{4 – x^2}}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in (-1; 2)$.
Tính các giá trị: $y(-1) = \sqrt{3}$; $y(0) = 2$; $y(2) = 0$.
Vậy $M = \max_{[-1; 2]} y = y(0) = 2$.
Bài tập 5: Cho hàm số $f(x) = \frac{mx – 1}{x + m}$. Tìm tham số $m > 0$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; 2]$ bằng $2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Với $m > 0$, điều kiện $x \ne -m$ luôn thỏa mãn trên $[1; 2]$.
Ta có $f'(x) = \frac{m^2 + 1}{(x + m)^2} > 0, \forall x \in [1; 2]$. Do đó $f(x)$ luôn đồng biến trên $[1; 2]$.
Suy ra $\max_{[1; 2]} f(x) = f(2) = \frac{2m – 1}{2 + m}$.
Theo đề bài: $\frac{2m – 1}{2 + m} = 2 \Leftrightarrow 2m – 1 = 4 + 2m \Leftrightarrow -1 = 4$ (vô lý). Do đó không tồn tại giá trị $m > 0$ thỏa mãn.
Để lại phản hồi