📌 Đề bài:
Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị tương ứng của hàm số sau:
$$y = -x^4 + 4x^2 – 1$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm cực trị của hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước chuẩn sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$ và giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm $x_i \in D$ hoặc các điểm làm $f'(x)$ không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của đạo hàm $y’$. Tương tự như khi xét tính đơn điệu của hàm số trùng phương, việc xét dấu đạo hàm giúp ta xác định chính xác chiều biến thiên.
- Bước 4: Áp dụng dấu hiệu nhận biết cực trị (Dấu hiệu 1):
- Nếu $y’$ đổi dấu từ dương ($+$) sang âm ($-$) khi qua điểm $x_0$ theo chiều tăng dần thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu $y’$ đổi dấu từ âm ($-$) sang dương ($+$) khi qua điểm $x_0$ theo chiều tăng dần thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- Bước 5: Tính giá trị cực trị $y_0 = f(x_0)$ tương ứng và kết luận.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
1. Tập xác định: Hàm số đa thức xác định trên $\mathbb{R}$, do đó $D = \mathbb{R}$.
2. Đạo hàm và tìm nghiệm:
Ta có:
$$y’ = (-x^4 + 4x^2 – 1)’ = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 – 2)$$
Cho $y’ = 0$, ta được:
$$-4x(x^2 – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x^2 – 2 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -\sqrt{2} \\ x = \sqrt{2} \end{array}\right.$$
3. Bảng biến thiên:
Xét dấu đạo hàm $y’$ trên các khoảng xác định:
| $x$ | $-\infty$ | $-\sqrt{2}$ | $0$ | $\sqrt{2}$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y’$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $y$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-\infty$ |
4. Tính các giá trị cực trị:
- Với $x = -\sqrt{2} \Rightarrow y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 – 1 = -4 + 8 – 1 = 3$.
- Với $x = \sqrt{2} \Rightarrow y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 – 1 = -4 + 8 – 1 = 3$.
- Với $x = 0 \Rightarrow y(0) = -0^4 + 4(0)^2 – 1 = -1$.
Bạn cũng có thể xem lại phương pháp phân tích bảng xét dấu tương tự ở dạng bài tìm các điểm cực trị của hàm số bậc ba.
👉 Kết luận:
– Hàm số đạt cực đại tại $x = -\sqrt{2}$ và $x = \sqrt{2}$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = 3$.
– Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = -1$.
– Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: $A(-\sqrt{2}; 3)$, $B(\sqrt{2}; 3)$ và $C(0; -1)$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Lời giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.
Bảng xét dấu $y’$:
– $y’$ đổi dấu từ $(-)$ sang $(+)$ khi qua $x = -1$ và $x = 1$.
– $y’$ đổi dấu từ $(+)$ sang $(-)$ khi qua $x = 0$.
Đáp số: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1$ ($y_{\text{CT}} = 1$), đạt cực đại tại $x = 0$ ($y_{\text{CĐ}} = 2$).
Bài tập 2: Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số $y = -x^3 + 3x – 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Lời giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.
Xét dấu đạo hàm (tương tự như cách xét trong bài khảo sát hàm số bậc ba):
– Với $x < -1$: $y' < 0$; với $-1 < x < 1$: $y' > 0$; với $x > 1$: $y’ < 0$.
Đáp số: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ với $y_{\text{CT}} = -4$; đạt cực đại tại $x = 1$ với $y_{\text{CĐ}} = 0$.
Bài tập 3: Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Lời giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y’ = x^2 – 2x – 3$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
Ta có $y(-1) = \frac{20}{3}$ và $y(3) = -4$.
Đạo hàm $y’$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x = -1$ và từ âm sang dương qua $x = 3$.
Đáp số: Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $M\left(-1; \frac{20}{3}\right)$, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $N(3; -4)$.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = 2x^4 – 4x^2 + 1$. Tính tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Lời giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y’ = 8x^3 – 8x = 8x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0 \Rightarrow y_{\text{CĐ}} = 1$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1 \Rightarrow y_{\text{CT}} = 2(1)^4 – 4(1)^2 + 1 = -1$.
Tổng giá trị cực đại và cực tiểu: $S = y_{\text{CĐ}} + y_{\text{CT}} = 1 + (-1) = 0$.
Đáp số: $S = 0$.
Bài tập 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Lời giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Ta có $y = x + 1 + \frac{1}{x + 1}$.
Đạo hàm: $y’ = 1 – \frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1)^2 – 1}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.
Xét dấu $y’$:
– Qua $x = -2$, $y’$ đổi dấu từ $(+)$ sang $(-)$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x = -2$, $y_{\text{CĐ}} = -2$.
– Qua $x = 0$, $y’$ đổi dấu từ $(-)$ sang $(+)$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, $y_{\text{CT}} = 2$.
Đáp số: Điểm cực đại $x = -2$ ($y_{\text{CĐ}} = -2$), điểm cực tiểu $x = 0$ ($y_{\text{CT}} = 2$).
Để lại phản hồi