📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$P = \frac{\sin a + 2\sin 3a + \sin 5a}{\sin 3a + 2\sin 5a + \sin 7a}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán rút gọn có dạng tổng các hàm lượng giác đối xứng về bậc góc, ta sử dụng phương pháp nhóm các số hạng có tổng góc bằng nhau để áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích lượng giác:
- Công thức cộng $\sin$: $$\sin u + \sin v = 2\sin\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\left(\frac{u-v}{2}\right)$$
- Kỹ thuật ghép cặp:
– Ở tử số: ghép $(\sin a + \sin 5a)$ vì trung bình cộng của $a$ và $5a$ chính là $3a$.
– Ở mẫu số: ghép $(\sin 3a + \sin 7a)$ vì trung bình cộng của $3a$ và $7a$ chính là $5a$. - Đặt nhân tử chung để triệt tiêu thừa số giống nhau ở cả tử và mẫu. Tương tự như kỹ thuật khi rút gọn biểu thức lượng giác chứa 3 góc, ta sẽ rút gọn được biểu thức về dạng tối giản nhất.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Biến đổi tử thức
Ta nhóm các số hạng ở tử số như sau:
$$\text{Tử số} = (\sin 5a + \sin a) + 2\sin 3a$$
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho $\sin 5a + \sin a$:
$$\sin 5a + \sin a = 2\sin\left(\frac{5a + a}{2}\right)\cos\left(\frac{5a – a}{2}\right) = 2\sin 3a \cos 2a$$
Thay lại vào tử số và đặt nhân tử chung:
$$\text{Tử số} = 2\sin 3a \cos 2a + 2\sin 3a = 2\sin 3a (\cos 2a + 1)$$
Bước 2: Biến đổi mẫu thức
Ta nhóm các số hạng ở mẫu số như sau:
$$\text{Mẫu số} = (\sin 7a + \sin 3a) + 2\sin 5a$$
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho $\sin 7a + \sin 3a$:
$$\sin 7a + \sin 3a = 2\sin\left(\frac{7a + 3a}{2}\right)\cos\left(\frac{7a – 3a}{2}\right) = 2\sin 5a \cos 2a$$
Thay lại vào mẫu số và đặt nhân tử chung:
$$\text{Mẫu số} = 2\sin 5a \cos 2a + 2\sin 5a = 2\sin 5a (\cos 2a + 1)$$
Bước 3: Rút gọn phân thức
Thay kết quả của tử số và mẫu số vào biểu thức $P$ ban đầu:
$$P = \frac{2\sin 3a(\cos 2a + 1)}{2\sin 5a(\cos 2a + 1)} = \frac{\sin 3a}{\sin 5a}$$
👉 Kết luận: Biểu thức sau khi rút gọn là $P = \frac{\sin 3a}{\sin 5a}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\cos a + 2\cos 3a + \cos 5a}{\cos 3a + 2\cos 5a + \cos 7a}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tử số: $(\cos 5a + \cos a) + 2\cos 3a = 2\cos 3a \cos 2a + 2\cos 3a = 2\cos 3a(\cos 2a + 1)$.
Mẫu số: $(\cos 7a + \cos 3a) + 2\cos 5a = 2\cos 5a \cos 2a + 2\cos 5a = 2\cos 5a(\cos 2a + 1)$.
Vậy $A = \frac{2\cos 3a(\cos 2a + 1)}{2\cos 5a(\cos 2a + 1)} = \frac{\cos 3a}{\cos 5a}$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin a + 2\sin 2a + \sin 3a}{\cos a + 2\cos 2a + \cos 3a}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tử số: $(\sin 3a + \sin a) + 2\sin 2a = 2\sin 2a \cos a + 2\sin 2a = 2\sin 2a(\cos a + 1)$.
Mẫu số: $(\cos 3a + \cos a) + 2\cos 2a = 2\cos 2a \cos a + 2\cos 2a = 2\cos 2a(\cos a + 1)$.
Vậy $B = \frac{2\sin 2a(\cos a + 1)}{2\cos 2a(\cos a + 1)} = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \tan 2a$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sin a + \sin 2a + \sin 3a + \sin 4a}{\cos a + \cos 2a + \cos 3a + \cos 4a}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tử số: $(\sin 4a + \sin a) + (\sin 3a + \sin 2a) = 2\sin\frac{5a}{2}\cos\frac{3a}{2} + 2\sin\frac{5a}{2}\cos\frac{a}{2} = 2\sin\frac{5a}{2}\left(\cos\frac{3a}{2} + \cos\frac{a}{2}\right)$.
Mẫu số: $(\cos 4a + \cos a) + (\cos 3a + \cos 2a) = 2\cos\frac{5a}{2}\cos\frac{3a}{2} + 2\cos\frac{5a}{2}\cos\frac{a}{2} = 2\cos\frac{5a}{2}\left(\cos\frac{3a}{2} + \cos\frac{a}{2}\right)$.
Do đó $C = \frac{\sin\frac{5a}{2}}{\cos\frac{5a}{2}} = \tan\frac{5a}{2}$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $D = \frac{\cos 4x – \cos 2x}{\sin 4x + \sin 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tử số: $\cos 4x – \cos 2x = -2\sin 3x \sin x$.
Mẫu số: $\sin 4x + \sin 2x = 2\sin 3x \cos x$.
Do đó $D = \frac{-2\sin 3x \sin x}{2\sin 3x \cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức $E = \frac{\sin 3x – \sin x}{1 – \cos 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tử số: $\sin 3x – \sin x = 2\cos 2x \sin x$.
Mẫu số: $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$.
Do đó $E = \frac{2\cos 2x \sin x}{2\sin^2 x} = \frac{\cos 2x}{\sin x}$.
Để lại phản hồi