📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$P = \frac{\sin 4x – 2\sin 2x}{\sin 4x + 2\sin 2x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về rút gọn biểu thức lượng giác có công thức nhân đôi, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các công thức sau:
- Công thức nhân đôi đối với sin: $\sin 2u = 2\sin u \cos u$. Áp dụng cho góc $4x$: $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.
- Công thức nhân đôi / hạ bậc đối với cos:
- $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x \iff \cos 2x – 1 = -2\sin^2 x$
- $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$
- Công thức liên hệ sin, cos và tan: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Áp dụng công thức nhân đôi để phân tích $\sin 4x$
Ta có $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$. Thay vào biểu thức $P$, ta được:
$$P = \frac{2\sin 2x \cos 2x – 2\sin 2x}{2\sin 2x \cos 2x + 2\sin 2x}$$
Bước 2: Đặt nhân tử chung ở tử thức và mẫu thức
Đặt $2\sin 2x$ làm nhân tử chung ở cả tử và mẫu:
$$P = \frac{2\sin 2x (\cos 2x – 1)}{2\sin 2x (\cos 2x + 1)}$$
Rút gọn nhân tử chung $2\sin 2x$ (với điều kiện $\sin 2x \ne 0$):
$$P = \frac{\cos 2x – 1}{\cos 2x + 1}$$
Bước 3: Sử dụng công thức nhân đôi của cosin để đưa về góc $x$
Theo công thức nhân đôi của $\cos 2x$:
$$\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x \iff \cos 2x – 1 = -2\sin^2 x$$
$$\cos 2x = 2\cos^2 x – 1 \iff \cos 2x + 1 = 2\cos^2 x$$
Thay vào biểu thức $P$, ta có:
$$P = \frac{-2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = -\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = -\tan^2 x$$
Đây là dạng bài tập nền tảng tương tự các bài toán tính giá trị biểu thức chứa góc nhân đôi.
👉 Kết luận: $P = -\tan^2 x$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin 2x – 2\sin x}{\sin 2x + 2\sin x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Do đó:
$$A = \frac{2\sin x \cos x – 2\sin x}{2\sin x \cos x + 2\sin x} = \frac{2\sin x(\cos x – 1)}{2\sin x(\cos x + 1)} = \frac{\cos x – 1}{\cos x + 1}$$
Áp dụng công thức hạ bậc góc nửa: $\cos x – 1 = -2\sin^2\frac{x}{2}$ và $\cos x + 1 = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Suy ra: $A = \frac{-2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} = -\tan^2 \frac{x}{2}$.
Đáp số: $A = -\tan^2 \frac{x}{2}$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin 2x + \sin x}{1 + \cos 2x + \cos x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Biến đổi tử số: $\sin 2x + \sin x = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$.
Biến đổi mẫu số: $1 + \cos 2x + \cos x = 2\cos^2 x + \cos x = \cos x(2\cos x + 1)$.
Do đó: $B = \frac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x(2\cos x + 1)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Đáp số: $B = \tan x$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\cos 2x – \cos 4x}{\sin 4x – \sin 2x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
$$\cos 2x – \cos 4x = -2\sin 3x \sin(-x) = 2\sin 3x \sin x$$
$$\sin 4x – \sin 2x = 2\cos 3x \sin x$$
Suy ra: $C = \frac{2\sin 3x \sin x}{2\cos 3x \sin x} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$.
Đáp số: $C = \tan 3x$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $D = \frac{1 + \cos 4x}{\cot x – \tan x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có: $1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x$.
Mặt khác: $\cot x – \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} – \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\cot 2x = \frac{2\cos 2x}{\sin 2x}$.
Do đó: $D = \frac{2\cos^2 2x}{\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}} = \cos 2x \sin 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Đáp số: $D = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{1}{\sin 10^\circ} – \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Quy đồng mẫu thức:
$$M = \frac{\cos 10^\circ – \sqrt{3}\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} = \frac{2\left(\frac{1}{2}\cos 10^\circ – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ\right)}{\frac{1}{2}\sin 20^\circ}$$
Vì $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ$ và $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ$, ta có:
$$\frac{1}{2}\cos 10^\circ – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ = \sin 30^\circ \cos 10^\circ – \cos 30^\circ \sin 10^\circ = \sin(30^\circ – 10^\circ) = \sin 20^\circ$$
Thay lại vào biểu thức $M$:
$$M = \frac{2\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\sin 20^\circ} = 4$$
Đáp số: $M = 4$.
Để lại phản hồi