📌 Đề bài:
Cho hai góc $a$ và $b$ thỏa mãn $\cos(a + b) = \frac{3}{5}$ và $\sin(a – b) = \frac{5}{13}$ với $0 < b < a < \frac{\pi}{4}$. Hãy tính giá trị của biểu thức $P = \sin 2a + \cos 2b$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán lượng giác có chứa các biểu thức góc đối xứng hoặc tổng – hiệu của hai góc, ta thường sử dụng kỹ thuật tách góc khéo léo kết hợp với hệ thống công thức cộng lượng giác:
- Kỹ thuật biến đổi góc:
$$2a = (a + b) + (a – b)$$
$$2b = (a + b) – (a – b)$$ - Công thức cộng lượng giác đối với sin và cos:
$$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$
$$\cos(x – y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$$ - Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Cần xác định dấu của giá trị lượng giác dựa trên khoảng biến thiên của cung/góc.
Phương pháp này tương tự như khi xử lý bài toán tính giá trị lượng giác bằng công thức cộng, giúp đơn giản hóa việc tính toán mà không cần tìm trực tiếp số đo của từng góc $a$ và $b$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định dấu và tính các giá trị lượng giác còn lại của $(a + b)$ và $(a – b)$
Theo giả thiết: $0 < b < a < \frac{\pi}{4}$. Do đó:
- $0 < a + b < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \sin(a + b) > 0$.
- $0 < a - b < \frac{\pi}{4} \implies \cos(a - b) > 0$.
Áp dụng hệ thức cơ bản $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, ta có:
$$\sin(a + b) = \sqrt{1 – \cos^2(a + b)} = \sqrt{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
$$\cos(a – b) = \sqrt{1 – \sin^2(a – b)} = \sqrt{1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$
Bước 2: Tính $\sin 2a$ bằng công thức cộng
Biến đổi góc $2a = (a + b) + (a – b)$, ta có:
$$\begin{aligned}
\sin 2a &= \sin\big((a + b) + (a – b)\big) \\
&= \sin(a + b)\cos(a – b) + \cos(a + b)\sin(a – b) \\
&= \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{13}\right) \\
&= \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}
\end{aligned}$$
Bước 3: Tính $\cos 2b$ bằng công thức cộng
Biến đổi góc $2b = (a + b) – (a – b)$, ta có:
$$\begin{aligned}
\cos 2b &= \cos\big((a + b) – (a – b)\big) \\
&= \cos(a + b)\cos(a – b) + \sin(a + b)\sin(a – b) \\
&= \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{13}\right) \\
&= \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}
\end{aligned}$$
Bước 4: Tính giá trị của biểu thức $P$
$$P = \sin 2a + \cos 2b = \frac{63}{65} + \frac{56}{65} = \frac{119}{65}$$
👉 Kết luận / Đáp án: $P = \frac{119}{65}$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hai góc nhọn $x, y$ thỏa mãn $\tan x = \frac{1}{2}$ và $\tan y = \frac{1}{3}$. Tính giá trị của $\tan(x + y)$ và suy ra số đo của góc $x + y$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng công thức cộng cho hàm tang:
$$\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 – \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$$
Vì $x, y$ là các góc nhọn nên $0 < x, y < \frac{\pi}{2} \implies 0 < x + y < \pi$. Do đó $x + y = \frac{\pi}{4}$ (hoặc $45^\circ$).
Đáp số: $\tan(x+y) = 1$; $x + y = \frac{\pi}{4}$.
Bài tập 2: Cho hai góc $a, b$ thỏa mãn $\cos(a + b) = \frac{4}{5}$ và $\cos(a – b) = \frac{12}{13}$ với $0 < b < a < \frac{\pi}{4}$. Tính giá trị của $\cos 2a$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Do $0 < b < a < \frac{\pi}{4}$ nên $0 < a + b < \frac{\pi}{2}$ và $0 < a - b < \frac{\pi}{4}$, suy ra $\sin(a + b) > 0$ và $\sin(a – b) > 0$.
$$\sin(a + b) = \sqrt{1 – \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}, \quad \sin(a – b) = \sqrt{1 – \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$$
Ta có $2a = (a + b) + (a – b)$:
$$\cos 2a = \cos(a+b)\cos(a-b) – \sin(a+b)\sin(a-b) = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} – \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48 – 15}{65} = \frac{33}{65}$$
Đáp số: $\cos 2a = \frac{33}{65}$.
Bài tập 3: Tính giá trị đúng của biểu thức $A = \frac{\tan 70^\circ – \tan 25^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 25^\circ} + \cos 15^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng công thức cộng $\tan(x – y) = \frac{\tan x – \tan y}{1 + \tan x \tan y}$:
$$\frac{\tan 70^\circ – \tan 25^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 25^\circ} = \tan(70^\circ – 25^\circ) = \tan 45^\circ = 1$$
Mặt khác: $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ – 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Vậy $A = 1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Đáp số: $A = \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $M = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) – \sin\left(x – \frac{\pi}{3}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Khai triển theo công thức cộng:
$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$$
$$\sin\left(x – \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} – \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin x – \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$$
Trừ hai vế:
$$M = \left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) – \left(\frac{1}{2}\sin x – \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x$$
Đáp số: $M = \sqrt{3}\cos x$.
Bài tập 5: Cho $\tan a = 3$ và $\tan b = -2$. Tính giá trị của biểu thức $Q = \cos(a + b)\cos(a – b) + \sin(a + b)\sin(a – b)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng công thức cộng $\cos u \cos v + \sin u \sin v = \cos(u – v)$ với $u = a + b, v = a – b$:
$$Q = \cos\big((a + b) – (a – b)\big) = \cos(2b)$$
Biểu diễn $\cos 2b$ theo $\tan b$:
$$\cos 2b = \frac{1 – \tan^2 b}{1 + \tan^2 b} = \frac{1 – (-2)^2}{1 + (-2)^2} = \frac{1 – 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$
Đáp số: $Q = -\frac{3}{5}$.
Để lại phản hồi