1. Đọc và trích xuất đề bài từ hình ảnh
Dưới đây là nội dung chính xác 100% từ hình ảnh câu hỏi được cung cấp:
Câu hỏi 1 (Mức độ: Nhận biết – Thông hiểu)
Câu lạc bộ cờ của một trường trung học phổ thông gồm $35$ thành viên, trong đó mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Qua thống kê, ban chủ nhiệm nhận thấy có $25$ thành viên biết chơi cờ vua và $20$ thành viên biết chơi cờ tướng. Học sinh được chọn ngẫu nhiên một thành viên của câu lạc bộ để tham gia giải đấu cấp tỉnh.
Tính xác suất để thành viên được chọn biết chơi cả hai bộ môn cờ vua và cờ tướng.
2. Dạng toán & Kiến thức liên quan
- Dạng toán chính: Tính xác suất cổ điển kết hợp công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp (Nguyên lý bù trừ / Sơ đồ Venn).
- Chủ đề liên quan: Lý thuyết tập hợp (Chương trình Toán THPT), Nguyên lý đếm, Xác suất cổ điển $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
3. Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Để giải bài toán dạng này một cách chính xác và nhanh chóng, học sinh cần nắm vững các công thức cơ bản sau:
- Công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp $A$ và $B$:
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$$
Trong đó:- $n(A \cup B)$: Số phần tử thuộc tập $A$ hoặc tập $B$ (hoặc cả hai).
- $n(A)$: Số phần tử thuộc tập $A$.
- $n(B)$: Số phần tử thuộc tập $B$.
- $n(A \cap B)$: Số phần tử thuộc cả hai tập $A$ và $B$.
- Công thức tính xác suất cổ điển:
$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$$
Trong đó $n(E)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$, và $n(\Omega)$ là số kết quả có thể xảy ra của không gian mẫu.
4. Lời giải chi tiết bài toán gốc trong ảnh
Bước 1: Khai báo không gian mẫu và các tập hợp:
- Gọi $\Omega$ là tập hợp tất cả các thành viên trong câu lạc bộ cờ. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 35$.
- Gọi $A$ là tập hợp các thành viên biết chơi cờ vua $\implies n(A) = 25$.
- Gọi $B$ là tập hợp các thành viên biết chơi cờ tướng $\implies n(B) = 20$.
Bước 2: Tìm số phần tử biết chơi cả hai bộ môn:
Vì mỗi thành viên trong câu lạc bộ đều biết chơi ít nhất một trong hai môn nên số thành viên biết chơi cờ vua hoặc cờ tướng chính là tổng số thành viên của câu lạc bộ:
$$n(A \cup B) = 35$$
Áp dụng công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp:
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$$$$35 = 25 + 20 – n(A \cap B)$$$$\implies n(A \cap B) = 25 + 20 – 35 = 10$$
Vậy có $10$ thành viên biết chơi cả hai bộ môn cờ vua và cờ tướng.
Bước 3: Tính xác suất:
Gọi $E$ là biến cố “Thành viên được chọn biết chơi cả hai bộ môn cờ vua và cờ tướng”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $n(E) = n(A \cap B) = 10$.
Xác suất của biến cố $E$ là:
$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$$
Đáp số: $\frac{2}{7}$.
5. Hệ thống 5 bài toán tương tự rèn luyện kỹ năng
Bài 1 (Mức độ Nhận biết)
Một lớp học có $40$ học sinh, trong đó có $28$ học sinh chơi bóng đá và $22$ học sinh chơi cầu lông. Biết rằng mỗi học sinh trong lớp đều chơi ít nhất một trong hai môn thể thao này. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh được chọn chơi cả hai môn thể thao.
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Lời giải:
Gọi $S$ là tập hợp các học sinh trong lớp $\implies n(\Omega) = 40$.
Gọi $A$ là tập hợp các học sinh chơi bóng đá $\implies n(A) = 28$.
Gọi $B$ là tập hợp các học sinh chơi cầu lông $\implies n(B) = 22$.
Do mỗi học sinh đều chơi ít nhất một môn nên $n(A \cup B) = 40$.
Số học sinh chơi cả hai môn là:
$$n(A \cap B) = n(A) + n(B) – n(A \cup B) = 28 + 22 – 40 = 10$$
Xác suất chọn được $1$ học sinh chơi cả hai môn là:
$$P = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$
Bài 2 (Mức độ Thông hiểu – Có trường hợp phần tử ngoài cả 2 tập)
Một câu lạc bộ ngoại ngữ có $50$ học sinh. Trong đó có $35$ học sinh học tiếng Anh, $25$ học sinh học tiếng Pháp và $5$ học sinh không học cả hai tiếng này. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh từ câu lạc bộ. Tính xác suất để chọn được học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Pháp.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Lời giải:
Tổng số học sinh là $n(\Omega) = 50$.
Số học sinh học ít nhất một trong hai ngôn ngữ (tiếng Anh hoặc tiếng Pháp) là:
$$n(A \cup B) = 50 – 5 = 45$$
Áp dụng công thức tập hợp, số học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Pháp là:
$$n(A \cap B) = n(A) + n(B) – n(A \cup B) = 35 + 25 – 45 = 15$$
Xác suất để chọn được học sinh học cả hai ngoại ngữ là:
$$P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0{,}3$$
Bài 3 (Mức độ Vận dụng – Chọn nhiều phần tử)
Một nhóm gồm $60$ sinh viên, trong đó có $40$ sinh viên giỏi Toán, $30$ sinh viên giỏi Tin học, và mỗi sinh viên đều giỏi ít nhất một trong hai môn. Chọn ngẫu nhiên $2$ sinh viên từ nhóm này. Tính xác suất để cả $2$ sinh viên được chọn đều giỏi cả hai môn Toán và Tin học.
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Lời giải:
Số phần tử giỏi ít nhất một môn là $n(A \cup B) = 60$.
Số sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Tin là:
$$n(A \cap B) = n(A) + n(B) – n(A \cup B) = 40 + 30 – 60 = 10$$
Số cách chọn $2$ sinh viên bất kỳ từ $60$ sinh viên (không gian mẫu):
$$n(\Omega) = C_{60}^2 = \frac{60 \times 59}{2} = 1770$$
Số cách chọn $2$ sinh viên từ $10$ sinh viên giỏi cả hai môn:
$$n(E) = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$$
Xác suất cần tìm là:
$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{45}{1770} = \frac{3}{118}$$
Bài 4 (Mức độ Thông hiểu – Biến cố hiệu / Chỉ thuộc 1 tập)
Trong một cuộc khảo sát $100$ người về sở thích, có $70$ người thích đọc sách, $60$ người thích nghe nhạc và $10$ người không thích cả hai hoạt động này. Chọn ngẫu nhiên $1$ người trong số $100$ người được khảo sát. Tính xác suất chọn được người chỉ thích đọc sách (không thích nghe nhạc).
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Lời giải:
Số người được khảo sát là $n(\Omega) = 100$.
Số người thích ít nhất một trong hai hoạt động (đọc sách hoặc nghe nhạc) là:
$$n(A \cup B) = 100 – 10 = 90$$
Số người thích cả đọc sách và nghe nhạc là:
$$n(A \cap B) = n(A) + n(B) – n(A \cup B) = 70 + 60 – 90 = 40$$
Số người chỉ thích đọc sách (thuộc tập $A$ nhưng không thuộc tập $B$) là:
$$n(A \setminus B) = n(A) – n(A \cap B) = 70 – 40 = 30$$
Xác suất chọn được người chỉ thích đọc sách là:
$$P = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} = 0{,}3$$
Bài 5 (Mức độ Vận dụng cao – Phân tích đăng ký nguyện vọng)
Lớp 12A có $45$ học sinh. Trong đó có $30$ học sinh đăng ký thi khối A, $25$ học sinh đăng ký thi khối D, và $5$ học sinh không đăng ký hai khối này. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh từ lớp 12A. Tính xác suất chọn được học sinh đăng ký thi khối A nhưng không đăng ký thi khối D.
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Lời giải:
Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = 45$.
Số học sinh đăng ký thi khối A hoặc khối D là:
$$n(A \cup D) = 45 – 5 = 40$$
Số học sinh đăng ký thi cả hai khối A và D là:
$$n(A \cap D) = n(A) + n(D) – n(A \cup D) = 30 + 25 – 40 = 15$$
Số học sinh đăng ký thi khối A nhưng không đăng ký thi khối D là:
$$n(A \setminus D) = n(A) – n(A \cap D) = 30 – 15 = 15$$
Xác suất cần tìm là:
$$P = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$$
Để lại một bình luận