[Bayes] Có hai đội thi đấu môn Bắn súng Đội I có $10$ vận động viên, đội II có $8$ vận động viên

Có hai đội thi đấu môn Bắn súng Đội I có $10$ vận động viên, đội II có $8$ vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là $0,73$ và $0,54$. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,63

Lời giải: Gọi $D_1$ là biến cố vận động viên được chọn thuộc đội I.
Gọi $D_2$ là biến cố vận động viên được chọn thuộc đội II.
Gọi $V$ là biến cố vận động viên được chọn đạt huy chương vàng.
Ta có tổng số vận động viên là $10+8=18$ vận động viên.
Xác suất chọn được vận động viên đội I là $P(D_1) = \dfrac{10}{18}$.
Xác suất chọn được vận động viên đội II là $P(D_2) = \dfrac{8}{18}$.
Xác suất vận động viên đội I đạt huy chương vàng là $P(V|D_1) = 0.73$.
Xác suất vận động viên đội II đạt huy chương vàng là $P(V|D_2) = 0.54$.
Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương vàng là:
$P(V) = P(V|D_1)P(D_1) + P(V|D_2)P(D_2)$
$P(V) = 0.73 \cdot \dfrac{10}{18} + 0.54 \cdot \dfrac{8}{18}$
$P(V) = \dfrac{7.30}{18} + \dfrac{4.32}{18} = \dfrac{11.62}{18}$.
Xác suất để vận động viên được chọn thuộc đội I, giả sử vận động viên đó đạt huy chương vàng là:
$P(D_1|V) = \dfrac{P(V|D_1)P(D_1)}{P(V)}$
$P(D_1|V) = \dfrac{0.73 \cdot \dfrac{10}{18}}{\dfrac{11.62}{18}} = \dfrac{7.30}{11.62}$
Để chuyển về phân số tối giản, ta nhân cả tử và mẫu với $100$ (do $0.73$ và $0.54$ có 2 chữ số thập phân):
$P(D_1|V) = \dfrac{730.00}{1162.00} = \dfrac{365}{581}$.