[Bayes] Có hai đội thi đấu môn Bắn súng

Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội $I$ có $5$ vận động viên, đội $II$ có $7$ vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội $I$ và đội $II$ tương ứng là $0{,}65$ và $0{,}55$. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội $I$. (làm tròn hai chữ số thập phân)
Đáp án: 0,46

Lời giải: Xét biến cố $A$: ” Vận động viên này thuộc đội $I$”. Xét biến cố $B$:” Vận động viên này đạt huy chương vàng”.
Ta có $\mathrm{P}(B)= \mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(B \mid \overline{A})$.
$\bullet$ Tính $\mathrm{P}(A)$: Đây là xác suất để vận động viên đó thuộc đội $I$. Vậy $\mathrm{P}(A)=\dfrac{5}{12}$.
$\bullet$ Tính $\mathrm{P}(\overline{A})$: $\mathrm{P}(\overline{A})=1-\mathrm{P}(A)=\dfrac{7}{12}$.
$\bullet$ Tính $\mathrm{P}(B\mid A)$: Đây là xác suất để vận động viên thuộc đội
$I$ đạt huy chương vàng.
Do đó $\mathrm{P}(B\mid A)=0{,}65$.
$\bullet$ Tính $\mathrm{P}(B\mid \overline{A})$: Đây là xác suất để vận động viên thuộc đội $I$ đạt huy chương vàng.
Do đó $\mathrm{P}(B\mid \overline{A})=0{,}55$.
Vậy $\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(B \mid \overline{A})=\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}65+\dfrac{7}{12}\cdot 0{,}55=\dfrac{71}{120}\approx 0{,}59$.
Vậy xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là khoảng $0{,}59$.
Ta cần tính $\mathrm{P}(A\mid B)$. Theo công thức Bayes ta có
$\mathrm{P}(A\mid B) = \dfrac{\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B\mid A)}{\mathrm{P}(B)}=\dfrac{\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}65}{\dfrac{71}{120}}=\dfrac{65}{142}\approx 0{,}46.$