[Bayes] Cho hộp I gồm $5$ bi trắng và $5$ bi đỏ, hộp II gồm $6$ bi trắng và $4$ bi đỏ

Cho hộp I gồm $5$ bi trắng và $5$ bi đỏ, hộp II gồm $6$ bi trắng và $4$ bi đỏ. Bỏ ngẫu nhiên hai bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II một bi. Giả sử lấy được viên bi trắng. Xác suất để lấy được bi trắng từ hộp I có được viết ở dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{N}^*$. Tính $a^2+b^2$.
Đáp án: 145

Lời giải: Ta xét các trường hợp sau:
$\bullet$ Trường hợp 1. Hai bi từ hộp I sang hộp II là hai bi trắng.
Xác suất để trường hợp này xảy ra là $\dfrac{\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^2_{10}}=\dfrac{2}{9}$.
Xác suất để bi trắng lấy ra từ hộp I là $\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
$\bullet$ Trường hợp 2. Hai bi lấy từ hộp I sang hộp II là một bi trắng, một bi đỏ.
Xác suất để trường hợp này xảy ra là $\dfrac{5\cdot5}{\mathrm{C}^2_{10}}=\dfrac{5}{9}$.
Xác suất để bi trắng lấy ra từ hộp I là $\dfrac{1}{12}$.
Như vậy xác suất để lấy được bi trắng từ hộp I là $\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{12}$.
Vậy $a=1$ và $b=12$, do đó $a^2+b^2=145$.