[Bayes] Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đā phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó

Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đā phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê có 105 người trả lời ” sẽ mua”; có 95 người trả lời ” không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời ” sē mua”~và~” không mua”~ lần lượt là $70 \%$ và $30 \%$. Gọi $A$ là biến cố ” Người được phỏng vấn thực sự sē mua sản phẩm”. Gọi $B$ là biến cố ” Người được phỏng vấn trả lời sē mua sản phẩm”.

*a) Xác suất $\mathrm{P}\left(B\right)=\dfrac{21}{40}$ và $\mathrm{P}\left(\overline{B}\right)=\dfrac{19}{40}$.

b) Xác suất có điều kiện $\mathrm{P}\left(A\mid B\right)=0{,}3$.

*c) Xác suất $\mathrm{P}\left(A\right)=0{,}51$.

d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70\%$ người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:
(Đúng) Xác suất $\mathrm{P}\left(B\right)=\dfrac{21}{40}$ và $\mathrm{P}\left(\overline{B}\right)=\dfrac{19}{40}$
(Vì): Xác suất $\mathrm{P}\left(B\right)=\dfrac{105}{200}=\dfrac{21}{40}$; $\mathrm{P}\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{P}\left(B\right)=\dfrac{19}{40}$.
(Sai) Xác suất có điều kiện $\mathrm{P}\left(A\mid B\right)=0{,}3$
(Vì): Theo đề bài: Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời ” ~sẽ mua”~ là $70\%$.
Do đó xác suất có điều kiện $\mathrm{P}\left(A\mid B\right)=0{,}7$.
(Đúng) Xác suất $\mathrm{P}\left(A\right)=0{,}51$
(Vì): Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
$\mathrm{P}\left(A\right)=\mathrm{P}\left(A\mid B\right)\cdot\mathrm{P}\left(B\right)+\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right)\cdot\mathrm{P}\left(\overline{B}\right)=0{,}7\cdot\dfrac{21}{40}+0{,}3\cdot\dfrac{19}{40}=0{,}51.$
(Sai) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70\%$ người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị)
(Vì): Áp dụng công thức Bayes, ta có
$\mathrm{P}\left(B\mid A\right)=\dfrac{\mathrm{P}\left(A\mid B\right)\cdot\mathrm{P}\left(B\right)}{\mathrm{P}(A)}=\dfrac{0{,}7\cdot\dfrac{21}{40}}{0{,}51}\approx 0{,}72.$