Một nhà máy có 3 máy A, B, C sản xuất lần lượt 20%, 30% và 50% tổng số sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các máy tương ứng là 5%, 4% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy A sản xuất.

1. Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán: Bài toán tính xác suất có điều kiện sử dụng công thức Bayes.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi $A_1, A_2, …, A_n$ là một hệ đầy đủ các biến cố. Ta có $\sum P(A_i) = 1$. Xác định các xác suất tiên nghiệm $P(A_i)$.
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố quan sát được. Xác định các xác suất có điều kiện $P(B|A_i)$.
• Bước 3: Tính xác suất toàn phần của biến cố $B$: $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$
• Bước 4: Sử dụng công thức Bayes tính xác suất hậu nghiệm: $P(A_k|B) = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{P(B)}$

2. Đề bài và Lời giải chi tiết

Đề bài: Một nhà máy có 3 máy A, B, C sản xuất lần lượt 20%, 30% và 50% tổng số sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các máy tương ứng là 5%, 4% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho và thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy A sản xuất.

Lời giải:

Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là biến cố sản phẩm được chọn do máy A, B, C sản xuất.

Ta có: $P(A_1) = 0.20$, $P(A_2) = 0.30$, $P(A_3) = 0.50$. Dễ thấy hệ $\{A_1, A_2, A_3\}$ là một hệ đầy đủ.

Gọi $B$ là biến cố sản phẩm được chọn là phế phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các máy là: $P(B|A_1) = 0.05$, $P(B|A_2) = 0.04$, $P(B|A_3) = 0.02$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được một phế phẩm là:
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$
$P(B) = 0.20 \times 0.05 + 0.30 \times 0.04 + 0.50 \times 0.02$
$P(B) = 0.010 + 0.012 + 0.010 = 0.032$.

Áp dụng công thức Bayes, xác suất để phế phẩm đó do máy A sản xuất là:
$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.010}{0.032} = \frac{5}{16} = 0.3125$ (tức 31.25%).

3. Bài tập tương tự tự luyện

Bài tập 1: Bệnh X có tỉ lệ mắc trong dân số là 1%. Một xét nghiệm phát hiện bệnh có độ nhạy 95% (nếu có bệnh thì 95% xét nghiệm dương tính) và độ đặc hiệu 90% (nếu không có bệnh thì 90% xét nghiệm âm tính). Một người đi xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh X.

Bài tập 2: Trong trường THPT, 60% học sinh là nam và 40% là nữ. Tỉ lệ nam thích môn Toán là 70%, tỉ lệ nữ thích môn Toán là 50%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh thích môn Toán. Tính xác suất học sinh đó là nữ.

Bài tập 3: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 3 đỏ, 7 xanh. Hộp 2 có 6 đỏ, 4 xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rút 1 viên được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đỏ rút từ hộp 1.

Bài tập 4: Tại phòng khám, tỉ lệ đến khám bệnh A: 20%, bệnh B: 30%, bệnh C: 50%. Xác suất nhập viện do bệnh A là 40%, bệnh B là 20%, bệnh C là 10%. Một bệnh nhân đến khám và phải nhập viện. Tính xác suất người này mắc bệnh B.

Bài tập 5: Ba chi nhánh 1, 2, 3 sản xuất lần lượt 40%, 35%, 25% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm là 2%, 3%, 4%. Mua ngẫu nhiên 1 linh kiện thấy đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất do chi nhánh 1 sản xuất.