Chinh Phục Bài Tập Xác Suất Dùng Định Nghĩa Xác Suất Cổ Điển: Hướng Dẫn Toàn Diện Từ A Đến Z

Đề bài: Một chiếc hộp chứa 6 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu vàng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc. Người ta chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu vàng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\). Tổng số bi trong hộp là \(6 + 5 + 4 = 15\) viên. Phép thử là lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi từ 15 viên. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: $$ n(\Omega) = C_{15}^4 = 1365 $$

Bước 2: Phân tích biến cố. Gọi \(A\) là biến cố: “4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu vàng”. Từ khóa “ít nhất” là dấu hiệu rõ ràng để ta nghĩ đến biến cố đối. Biến cố đối của \(A\), ký hiệu là \(\overline{A}\), phát biểu là: “Trong 4 viên bi lấy ra KHÔNG CÓ viên bi màu vàng nào”.

Bước 3: Tính \(n(\overline{A})\) và suy ra \(n(A)\). Để lấy ra 4 viên bi mà không có viên vàng nào, ta chỉ được phép lấy bi từ nhóm bi đỏ và bi xanh. Tổng số bi đỏ và xanh là \(6 + 5 = 11\) viên. Vậy số cách lấy 4 viên bi không có màu vàng là: $$ n(\overline{A}) = C_{11}^4 = 330 $$

Từ đó, số cách lấy ra ít nhất 1 viên bi màu vàng (số phần tử thuận lợi cho biến cố \(A\)) là: $$ n(A) = n(\Omega) – n(\overline{A}) = 1365 – 330 = 1035 $$

Bước 4: Tính xác suất. Áp dụng định nghĩa xác suất cổ điển, ta có: $$ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1035}{1365} = \frac{69}{91} $$

Nhận xét của thầy: Các em hoàn toàn có thể giải bằng cách chia trường hợp trực tiếp (1 vàng, 2 vàng, 3 vàng, 4 vàng), nhưng việc tính toán sẽ dài hơn gấp 4 lần và rất dễ sai sót. Phương pháp biến cố đối là vũ khí tối thượng cho những bài “ít nhất”.

Đề bài: Một nhóm gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đứng xếp thành một hàng ngang để chụp ảnh kỷ yếu. Tính xác suất để 3 học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \(n(\Omega)\). Có tổng cộng \(4 + 3 = 7\) học sinh. Xếp 7 học sinh thành một hàng ngang, ta sử dụng hoán vị. Số cách xếp là: $$ n(\Omega) = 7! = 5040 $$

Bước 2 & 3: Tính \(n(A)\). Gọi \(A\) là biến cố: “3 học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau”. Để giải quyết bài toán các đối tượng “luôn đứng cạnh nhau”, thầy khuyên các em dùng kỹ thuật “Buộc” (Block method).

• Ta “buộc” 3 học sinh nữ lại thành một khối duy nhất, gọi là khối X. Đi trong khối X này, 3 bạn nữ có thể hoán vị cho nhau. Số cách hoán vị bên trong khối X là \(3! = 6\) cách.
• Bây giờ, bài toán trở thành xếp vị trí cho 4 học sinh nam và 1 khối X. Tổng cộng ta có 5 đối tượng. Xếp 5 đối tượng này thành một hàng ngang, ta có \(5! = 120\) cách.
• Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau là: $$ n(A) = 3! \times 5! = 6 \times 120 = 720 $$

Bước 4: Tính xác suất. $$ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{720}{5040} = \frac{1}{7} $$

Đề bài: Từ các chữ số \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? Chọn ngẫu nhiên một số từ các số vừa lập. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \(n(\Omega)\). Phép thử là lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ tập \(S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Tập \(S\) có 7 phần tử. Giả sử số cần lập có dạng \(\overline{abcd}\).

• Chọn chữ số \(a\): Vì \(a \neq 0\) nên \(a\) có 6 cách chọn.
• Chọn 3 chữ số còn lại \(b, c, d\): Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại và sắp xếp vào 3 vị trí, ta dùng chỉnh hợp: \(A_6^3 = 120\) cách.

Suy ra tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là: $$ n(\Omega) = 6 \times 120 = 720 $$

Bước 2 & 3: Tính \(n(A)\). Gọi \(A\) là biến cố: “Số lập được là số chẵn”. Để số \(\overline{abcd}\) chẵn thì chữ số tận cùng \(d\) phải chẵn, tức là \(d \in \{0, 2, 4, 6\}\). Vì số 0 đóng vai trò đặc biệt (nó không được đứng ở vị trí \(a\)), ta BẮT BUỘC phải chia 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0 (\(d = 0\))

• Số cách chọn \(d\): 1 cách.
• Lúc này số 0 đã được dùng, nên chữ số \(a\) hoàn toàn tự do (chỉ cần khác 0, và tập nguồn còn lại 6 số không có số 0). Ta chọn 3 chữ số xếp vào \(a, b, c\) từ 6 chữ số còn lại: \(A_6^3 = 120\) cách.
• Vậy TH1 có: \(1 \times 120 = 120\) số.

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0 (\(d \in \{2, 4, 6\}\))

• Số cách chọn \(d\): 3 cách.
• Chọn chữ số \(a\): \(a\) phải khác 0 và khác \(d\), tập nguồn có 7 số trừ đi số 0 và số \(d\), vậy \(a\) có 5 cách chọn.
• Chọn 2 chữ số \(b, c\): Chọn 2 số từ 5 số còn lại (7 số ban đầu trừ đi \(a\) và \(d\)): \(A_5^2 = 20\) cách.
• Vậy TH2 có: \(3 \times 5 \times 20 = 300\) số.

Theo quy tắc cộng, số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: $$ n(A) = 120 + 300 = 420 $$

Bước 4: Tính xác suất. $$ P(A) = \frac{420}{720} = \frac{7}{12} $$

Đề bài: Cho một đa giác đều có 20 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \(n(\Omega)\). Chọn 3 đỉnh từ 20 đỉnh của đa giác, ta có: $$ n(\Omega) = C_{20}^3 = 1140 $$

Bước 2 & 3: Tính \(n(A)\). Gọi \(A\) là biến cố: “3 đỉnh chọn ra tạo thành tam giác vuông”. Ở đây, các em cần nhớ lại kiến thức hình học lớp 9: Một tam giác nội tiếp đường tròn là tam giác vuông khi và chỉ khi cạnh huyền của nó là đường kính của đường tròn.

Vì đa giác đều có 20 đỉnh (số đỉnh chẵn), nên các đường chéo đi qua tâm của đa giác chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. Số đường chéo đi qua tâm (đường kính) bằng một nửa số đỉnh: \(20 / 2 = 10\) đường kính.

Để tạo thành một tam giác vuông, ta cần thực hiện 2 hành động:

• Hành động 1: Chọn cạnh huyền. Cạnh huyền phải là 1 trong 10 đường kính. Vậy có 10 cách chọn cạnh huyền.
• Hành động 2: Chọn đỉnh góc vuông. Sau khi đã chọn 2 đỉnh làm đường kính, ta còn lại \(20 – 2 = 18\) đỉnh. Bất kỳ đỉnh nào trong 18 đỉnh còn lại kết hợp với đường kính vừa chọn đều tạo thành một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (góc vuông). Vậy có 18 cách chọn đỉnh thứ 3.

Theo quy tắc nhân, số tam giác vuông tạo thành là: $$ n(A) = 10 \times 18 = 180 $$

Bước 4: Tính xác suất. $$ P(A) = \frac{180}{1140} = \frac{3}{19} $$

Mẹo của thầy: Nếu đề bài cho đa giác có số đỉnh là SỐ LẺ (ví dụ 15 đỉnh) mà yêu cầu tìm tam giác vuông, thì xác suất chắc chắn bằng 0, vì đa giác đều có số lẻ đỉnh không có đường chéo nào đi qua tâm cả!

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong 3 lần gieo bằng 10.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \(n(\Omega)\). Mỗi lần gieo xúc xắc có 6 khả năng xảy ra (từ 1 đến 6 chấm). Gieo 3 lần liên tiếp, số kết quả của không gian mẫu là: $$ n(\Omega) = 6 \times 6 \times 6 = 216 $$

Bước 2 & 3: Tính \(n(A)\). Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng số chấm 3 lần gieo bằng 10”. Nghĩa là ta cần tìm số các bộ \((x, y, z)\) sao cho \(x + y + z = 10\), với \(1 \le x, y, z \le 6\).

Chúng ta sẽ liệt kê các bộ số không phân biệt thứ tự có tổng bằng 10, sau đó hoán vị chúng:

• Bộ có chứa số 6: \((6, 3, 1)\), \((6, 2, 2)\)
• Bộ có chứa số 5: \((5, 4, 1)\), \((5, 3, 2)\)
• Bộ có chứa số 4 (không lấy số lớn hơn 4 nữa để tránh trùng lặp): \((4, 4, 2)\), \((4, 3, 3)\)

Bây giờ ta tính số hoán vị cho mỗi bộ:

• Các bộ có 3 chữ số khác nhau: \((6, 3, 1)\), \((5, 4, 1)\), \((5, 3, 2)\). Mỗi bộ có \(3! = 6\) hoán vị. Tổng số cách: \(3 \times 6 = 18\) cách.
• Các bộ có 2 chữ số giống nhau: \((6, 2, 2)\), \((4, 4, 2)\), \((4, 3, 3)\). Với mỗi bộ, số cách hoán vị là \(\frac{3!}{2!} = 3\) cách. Tổng số cách: \(3 \times 3 = 9\) cách.

Tổng cộng, số kết quả thuận lợi là: $$ n(A) = 18 + 9 = 27 $$

Bước 4: Tính xác suất. $$ P(A) = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} $$