Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ

Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng ${a . \pi\left({cm}^3\right), a \in \mathbb{N}^*}$. Giá trị lớn nhất của ${a}$ là bao nhiêu?

Lời giải

Đáp án: 1000.

Gọi ${x({cm}) ; y({cm})}$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ ${(x, y{>}0 ; x{<}30)}$.

Độ dài dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120 cm.

Ta có: ${(2 x+y) \cdot 4=120 \Leftrightarrow y=30-2 x{>}0 \Rightarrow 0{<}x{<}15}$.

Thể tích khối hộp quà là: ${V=\pi x^2 \cdot y=\pi x^2(30-2 x)}$. Thể tích ${V}$ lớn nhất khi hàm số ${f(x)=x^2(30-2 x)}$, ${(0{<}x{<}15)}$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có ${f^{\prime}(x)=-6 x^2+60 x}$;

Cho ${f^{\prime}(x)=-6 x^2+60 x=0 \Rightarrow x=10}$.

Lập bảng biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là: $V=\pi \cdot f(10)=1000\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$