Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát

Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là $20$ USD/người thì trung bình có $1000$ người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm $1$ USD/người thì sẽ mất $100$ khách hàng hoặc giảm đi $1$ USD/người thì sẽ có thêm $100$ khách hàng trong số trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại $2$ USD lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.
Đáp án: 14

Lời giải: Gọi giá vé sau khi điều chỉnh là $20+x$ $\left( K:x{>}-20 \right)$
Số khách là: $1000-100x$
Tổng thu nhập
$f\left( x \right)=\left( 20+x+2 \right)\left( 1000-100x \right)=\left( 22+x \right)\left( 1000-100x \right)=-100{{x}^{2}}-1200x+22000$
Bảng biến thiên

$\lim\limits_{\left( -20;+\infty \right)}f\left( x \right)=f\left( -6 \right)$. Suy ra giá vé là: $x+20=20-6=14$ USD