Ông Khoa muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích $288{{m}^{3}}$

Ông Khoa muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích $288{{m}^{3}}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là $500000$ đồng/ ${{m}^{2}}$. Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu?
Đáp án: 108

Lời giải: Theo bài ra ta có chi phí thuê nhân công thấp nhât thì bể phải xây dung có tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy nhỏ nhất.
Gọi ba kích thước của bể là $a,2a,c$ với $\left( a,c{>}0 \right)$.

Diện tích các mặt cần xây là $S=2{{a}^{2}}+4ac+2ac=2{{a}^{2}}+6ac.$
Thể tích bể là $V=a.2a.c=2{{a}^{2}}c=288\Rightarrow c=\dfrac{144}{{{a}^{2}}}$
Khi đó $S=2{{a}^{2}}+6a.\dfrac{144}{{{a}^{2}}}=2{{a}^{2}}+\dfrac{864}{a}=2{{a}^{2}}+\dfrac{432}{a}+\dfrac{432}{a}\ge 3\sqrt[3]{2{{a}^{2}}.\dfrac{432}{a}.\dfrac{432}{a}}=216$.
Vậy chi phí thấp nhất là $216.500000=108$ triệu đồng