Anh B chế tạo một bể cá có dạng khối hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $0,096{{\text{m}}^{3}}$, chiều cao $h=0,6\text{m}$, chiều rộng $x$, chiều dài $y$, với $x{>}0,y{>}0$

Anh B chế tạo một bể cá có dạng khối hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $0,096{{\text{m}}^{3}}$, chiều cao $h=0,6\text{m}$, chiều rộng $x$, chiều dài $y$, với $x{>}0,y{>}0$. Anh B dùng loại kính để làm các mặt bên có giá $70.000$ đồng/ ${{\text{m}}^{2}}$ và loại kính để làm mặt đáy có giá $100.000$ đồng/ ${{\text{m}}^{2}}$. Mọi chi phí khác xem như không đáng kể. Khi đó

a) Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là ${{C}_{\text{xq}}}=84000\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right).

b) Hàm số biểu thị$y$theo$x$là$y=\dfrac{0,096}{x}.

c) Chi phí làm bể cá thấp nhất là $83200$ đồng.

d) Chi phí mua kính để làm đáy bể là $16000$ đồng.

Lời giải:
Gọi $x$ là chiều rộng, $y$ là chiều dài, $h$ là chiều cao của bể cá.
Thể tích khối hộp hình chữ nhật: $V=xyh=0,6xy=0,096\Rightarrow xy=\dfrac{0,096}{0,6}=0,16\Rightarrow y=\dfrac{0,16}{x}$.
Diện tích đáy bể là ${{S}_{\text{d}}}=xy=0,16{{\text{m}}^{2}}$.
Chi phí mua kính để làm đáy bể là ${{C}_{\text{d}}}=100000\cdot {{S}_{\text{d}}}=100000\cdot 0,16=16000$ đồng.
Diện tích các mặt xung quanh (không nắp): ${{S}_{\text{xq}}}=2(xh+yh)=2(0,6x+0,6y)=1,2(x+y)$.
Thay $y=\dfrac{0,16}{x}$ vào ${{S}_{\text{xq}}}$, ta được ${{S}_{\text{xq}}}=1,2\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right)$.
Chi phí mua kính làm các mặt xung quanh là ${{C}_{\text{xq}}}=70000\cdot {{S}_{\text{xq}}}=70000\cdot 1,2\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right)=84000\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right)$ đồng.
Tổng chi phí làm bể cá: $C\left( x \right)={{C}_{\text{d}}}+{{C}_{\text{xq}}}=16000+84000\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right)$, với $x{>}0$.
Để chi phí làm bể cá thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=x+\dfrac{0,16}{x}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
$f’\left( x \right)=1-\dfrac{0,16}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-0,16}{{{x}^{2}}}$.
Đặt $f’\left( x \right)=0\Rightarrow {{x}^{2}}-0,16=0\Rightarrow {{x}^{2}}=0,16\Rightarrow x=\sqrt{0,16}=0,4$ (vì $x{>}0$).
Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ là $f\left( 0,4 \right)=0,4+\dfrac{0,16}{0,4}=0,4+0,4=0,8$.
Vậy chi phí làm bể cá thấp nhất là $C_{\text{min}}=16000+84000\cdot 0,8=16000+67200=83200$ đồng.
(Đúng) Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là ${{C}_{\text{xq}}}=84000\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right).(Vì): Diện tích các mặt xung quanh:${{S}_{\text{xq}}}=2\left( 0,6x+0,6y \right)=1,2\left( x+\dfrac{0,16}{x} \right)$. Chi phí mua kính làm mặt xung quanh là${{C}_{\text{xq}}} = 70000 \cdot {{S}_{\text{xq}}} = 70000 \cdot 1,2 \left(x+\dfrac{0,16}{x}\right) = 84000\left(x+\dfrac{0,16}{x}\right)$đồng.(Sai) Hàm số biểu thị$y$theo$x$là$y=\dfrac{0,096}{x}.
(Vì): Thể tích khối hộp hình chữ nhật: $V=xyh=0,6xy=0,096\Rightarrow xy=\dfrac{0,096}{0,6}=0,16$. Do đó, $y=\dfrac{0,16}{x}$ chứ không phải $y=\dfrac{0,096}{x}$.
(Đúng) Chi phí làm bể cá thấp nhất là $83200$ đồng.
(Vì): Chi phí làm bể cá thấp nhất là $C_{\text{min}}=16000+84000\cdot 0,8=83200$ đồng. (Xem chi tiết lời giải).
(Đúng) Chi phí mua kính để làm đáy bể là $16000$ đồng.
(Vì): Diện tích đáy bể là ${{S}_{\text{d}}}=xy=0,16{{\text{m}}^{2}}$. Chi phí mua kính để làm đáy bể là ${{C}_{\text{d}}}=100000\cdot {{S}_{\text{d}}}=100000\cdot 0,16=16000$ đồng.