Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {(x – 1)^2}\left( {{x^2} – 3x} \right)\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} – 4x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\)?

A.\(2\).

B. \(0\).

C. vô số.

D. \(5\).

Lời giải:

Ta có \(f'(x) = {(x – 1)^2}\left( {{x^2} – 3x} \right) = {(x – 1)^2}.x(x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\\x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)

Từ \(g(x) = f\left( {{x^2} – 4x + m} \right)\)suy ra \(g'(x) = (2x – 4){f^\prime }\left( {{x^2} – 4x + m} \right)\)

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{f^\prime }\left( {{x^2} – 4x + m} \right) = 0\,\,}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} – 4x + m = 0\,}\\{{x^2} – 4x + m = 3\,}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} – 4x = – m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x^2} – 4x = – m + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Đặt \(h(x) = {x^2} – 4x\), có bảng biến thiên như sau:

Để hàm số đã chọn có 5 điểm cực trị khi và chỉ phương trình (1); (2) có 2 nghiệm khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 < – m \le – 3\\ – 4 < – m + 3 \le – 3\\ – m \ne – 4\\ – m + 3 \ne – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le m < 4\\6 \le m < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \phi \)

Vậy \(m \in \phi \)