Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là \({f^\prime }(x) = {x^2} – 2x,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^4} – 18{x^2} + m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\)?

A.\(44\).

B. \(47\).

C. \(33\).

D. \(39\).

Lời giải:

Có \(f'(x) = {x^2} – 2x,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Từ \(g(x) = f\left( {{x^4} – 18{x^2} + m} \right)\) suy ra \(g(x)’ = \left( {4{x^3} – 36x} \right){f^\prime }\left( {{x^4} – 18{x^2} + m} \right)\),

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,x = \pm 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^4} – 18{x^2} + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^4} – 18{x^2} + m = 2\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Xét \(\left[ \begin{array}{l}{x^4} – 18{x^2} = – m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\{x^4} – 18{x^2} = – m + 2\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\)

Đặt \(h(x) = {x^4} – 18{x^2}\), có bảng biến thiên như sau:

Để \(g'(x) = 0\)có 7 cực trị thì:

Phương trình (2) có 2 nghiệm đơn phân biệt khác \(0;\, \pm 3\) khi và chỉ khi \( – 81 < – m \le – 32 \Leftrightarrow 32 \le m < 81 \Rightarrow m \in \left\{ {32;34…;80} \right\}\)

Phương trình (3) có 2 nghiệm đơn phân biệt khi và chỉ khi \( – 81 < – m + 2 \le – 32 \Leftrightarrow 34 \le m < 83 \Rightarrow m \in \left\{ {34;34…;82} \right\}\)

Vậy \(m \in \left\{ {34;35…;80} \right\}\)