Cho \(a,\)\(b,\)\(c\) là các số thực lớn hơn \(1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{4}{{{{\log }_{\sqrt {bc} }}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{ac}}\sqrt b }} + \frac{8}{{3{{\log }_{ab}}\sqrt[3]{c}}}\)

Cho \(a,\)\(b,\)\(c\) là các số thực lớn hơn \(1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{4}{{{{\log }_{\sqrt {bc} }}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{ac}}\sqrt b }} + \frac{8}{{3{{\log }_{ab}}\sqrt[3]{c}}}\)

A. \({P_{\min }} = 18\).

B. \({P_{\min }} = 10\).

C. \({P_{\min }} = 20\).

D. \({P_{\min }} = 12\).

Lời giải:

Ta có: \(P = \frac{4}{{2{{\log }_{bc}}a}} + \frac{1}{{\frac{1}{2}{{\log }_{ac}}b}} + \frac{8}{{{{\log }_{ab}}c}} = 2{\log _a}bc + 2{\log _b}ac + 8{\log _c}ab\)

\( = 2{\log _a}b + 2{\log _a}c + 2{\log _b}a + 2{\log _b}c + 8{\log _c}a + 8{\log _c}b\)

\( = \left( {2{{\log }_a}b + 2{{\log }_b}a} \right) + \left( {2{{\log }_a}c + 8{{\log }_c}a} \right) + \left( {2{{\log }_b}c + 8{{\log }_c}b} \right)\).

Vì \(a,\)\(b,\)\(c\) là các số thực lớn hơn \(1\) nên: \({\log _a}b,\)\({\log _b}a,\)\({\log _a}c,\)\({\log _c}a,\)\({\log _b}c,\)\({\log _c}b > 0\). Do đó

áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(P \ge 2\sqrt {2{{\log }_a}

B.2{{\log }_b}a} + 2\sqrt {2{{\log }_a}

C.8{{\log }_c}a} + 2\sqrt {2{{\log }_b}

C.8{{\log }_c}b} = 4 + 8 + 8 = 20\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = {\log _b}a\\{\log _a}c = 4{\log _c}a\\{\log _b}c = 4{\log _c}b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\c = {a^2}\\c = {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt c > 1\).

Vậy \({P_{\min }} = 20\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024