Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x – 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\,:{\,^{}}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2\) có tâm là \(I\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại hai tiếp điểm \(A,B\). Tìm toạ độ điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho thể tích khối chóp \(

D.AIB\) bằng \(\sqrt {42} \).

A. \(D\left( {11\,;\,\frac{9}{2};\,18} \right)\) hoặc \(D\left( { – 7\,;\,\frac{9}{2};\, – 18} \right)\).

B. \(D\left( {11\,;\, – \frac{9}{2};\,18} \right)\) hoặc \(D\left( { – 7\,;\,\frac{9}{2};\, – 18} \right)\).

C. \(D\left( {11\,;\, – \frac{9}{2};\,18} \right)\) hoặc \(D\left( { – 7\,;\,\frac{9}{2};\,18} \right)\).

D. \(D\left( {11\,;\, – \frac{9}{2};\,18} \right)\) hoặc \(D\left( {7\,;\,\frac{9}{2};\, – 18} \right)\).

Lời giải:

Đường thẳng \(d:\,\frac{{x – 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{4}\) đi qua \({M_0}\left( {2\,;\,0\,;\,0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\, – 1\,;\,4} \right)\) làm VTCP.

Mặt cầu \(\left( S \right)\,:\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}IA \bot \left( P \right)\\IB \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA \bot d\\IB \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AIB} \right) \bot d\).

Gọi \(K = d \cap \left( {AIB} \right)\)\( \Rightarrow IK \bot d\) hay \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(d\)

\( \Rightarrow \)\(K\left( {2\,;\,0\,;\,0} \right) \Rightarrow KI = \sqrt 6 \).

Xét tứ giác \(KAIB\) có \(KI\)và \(AB\) cắt nhau tại trung điểm \(H\) của \(AB\).

Ta có: \(IH.IK = {R^2} \Leftrightarrow IH = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).

Suy ra \(AH = \sqrt {{R^2} – H{I^2}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó diện tích tam giác \(AIB\) là: \({S_{\Delta AIB}} = IH.AH = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Lại có: \({V_{

D.AIB}} = \frac{1}{3}DK.{S_{\Delta AIB}} = \sqrt {42} \Rightarrow DK = \frac{{9\sqrt {21} }}{2}\).

\(D \in d \Rightarrow D\left( {2 + 2t\,;\, – t;\,4t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DK} = \left( { – 2t;t; – 4t} \right)\)\( \Rightarrow DK = \sqrt {21{t^2}} = \frac{{9\sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow t = \pm \frac{9}{2}\).

Vậy \(D\left( {11\,;\, – \frac{9}{2};\,18} \right)\) hoặc \(D\left( { – 7\,;\,\frac{9}{2};\, – 18} \right)\).