Giải SBT (CTST) Bài 6: Cộng, trừ phân thức

GIẢI CHI TIẾT SÁCH BÀI TẬP Bài 6: Cộng, trừ phân thức – Sách CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

================

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bài 1 trang 22 Tập 1 :Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a)$\frac{a–3b}{a+b}–\frac{5a+b}{a+b}$;

b)$\frac{7a–b}{2a^3}+\frac{b–3a}{2a^3}$;

c)$\frac{a^2}{{\left(a–b\right)}^2}–\frac{b^2}{{\left(b–a\right)}^2}$;

d)$\frac{a^2+3}{a–2}–\frac{3a}{a–2}+\frac{a–1}{2–a}$.

Lời giải:

a)$\frac{a–3b}{a+b}–\frac{5a+b}{a+b}=\frac{a–3b–\left(5a+b\right)}{a+b}$

$=\frac{a–3b–5a–b}{a+b}=\frac{–4a–4b}{a+b}$

$=\frac{–4\left(a+b\right)}{a+b}=–4$.

b)$\frac{7a–b}{2a^3}+\frac{b–3a}{2a^3}=\frac{7a–b+b–3a}{2a^3}=\frac{4a}{2a^3}=\frac{2a.2}{2a.a^2}=\frac{2}{a^2}$.

c)$\frac{a^2}{{\left(a–b\right)}^2}–\frac{b^2}{{\left(b–a\right)}^2}=\frac{a^2}{{\left(a–b\right)}^2}–\frac{b^2}{{\left(a–b\right)}^2}$

$=\frac{a^2–b^2}{{\left(a–b\right)}^2}=\frac{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}{{\left(a–b\right)}^2}=\frac{a+b}{a–b}$.

d)$\frac{a^2+3}{a–2}–\frac{3a}{a–2}+\frac{a–1}{2–a}=\frac{a^2+3}{a–2}–\frac{3a}{a–2}+\frac{1–a}{a–2}$

$=\frac{a^2+3–3a+1–a}{a–2}=\frac{a^2–4a+4}{a–2}=\frac{{\left(a–2\right)}^2}{a–2}=a–2$.

Bài 2 trang 22 Tập 1 :Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a)$\frac{3x}{2x–1}$và$\frac{3}{2x+1}$;

b)$\frac{1}{xy+x}$và$\frac{y}{xy–x}$;

c)$\frac{xy}{2x+2y}$và$\frac{x–y}{{\left(x+y\right)}^2}$;

d)$\frac{1}{x–1}$;$\frac{2x}{x+1}$và$\frac{1–2x}{x^2–1}$.

Lời giải:

a) Mẫu thức chung là (2x + 1)(2x – 1).

$\frac{3x}{2x–1}=\frac{3x\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(2x–1\right)};\frac{3}{2x+1}=\frac{3\left(2x–1\right)}{\left(2x+1\right)\left(2x–1\right)}$.

b) Ta cóxy + x = x(y + 1)vàxy ‒ x = x(y ‒ 1),nên mẫu thức chung làx(y + 1)(y ‒ 1).

$\frac{1}{xy+x}=\frac{1}{x\left(y+1\right)}=\frac{y–1}{x\left(y+1\right)\left(y–1\right)}$;

$\frac{y}{xy–x}=\frac{y}{x\left(y–1\right)}=\frac{y\left(y+1\right)}{x\left(y+1\right)\left(y–1\right)}$.

c) Ta có2x + 2y = 2(x + y)và(x + y)²= (x + y)(x+ y)

Do đó, mẫu thức chung là2(x + y)².

$\frac{xy}{2x+2y}=\frac{xy}{2\left(x+y\right)}=\frac{xy\left(x+y\right)}{2\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{xy\left(x+y\right)}{2{\left(x+y\right)}^2}$;

$\frac{x–y}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{2\left(x–y\right)}{2{\left(x+y\right)}^2}$.

d) Ta cóx²‒ 1 = (x + 1)(x ‒ 1). Do đó, mẫu thức chung là(x + 1)(x ‒ 1).

$\frac{1}{x–1}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x–1\right)}$;

$\frac{2x}{x+1}=\frac{2x\left(x–1\right)}{\left(x+1\right)\left(x–1\right)}$;

$\frac{1–2x}{x^2–1}=\frac{1–2x}{\left(x+1\right)\left(x–1\right)}$.

Bài 3 trang 22 Tập 1 :Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a)$\frac{x}{x+2}–\frac{x}{x–2}$;

b)$\frac{3x}{2y}+\frac{5x}{3y}$;

c)$\frac{y–1}{5y}–\frac{3x–1}{15x}$;

d)$\frac{1–x}{x^3}+\frac{1}{x^2}$;

e)$\frac{x–2y}{x{y}^2}–\frac{y–2x}{x^{2}y}$;

g)$\frac{1–y^2}{3xy}+\frac{2y^3–1}{6x{y}^2}$.

Lời giải:

a)$\frac{x}{x+2}–\frac{x}{x–2}=\frac{x\left(x–2\right)}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}–\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}$

$=\frac{x^2–2x–x^2–2x}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}=\frac{–4x}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}$.

b)$\frac{3x}{2y}+\frac{5x}{3y}=\frac{3x.3}{2y.3}+\frac{5x.2}{3y.2}=\frac{9x+10x}{6y}=\frac{19x}{6y}$.

c)$\frac{y–1}{5y}–\frac{3x–1}{15x}=\frac{\left(y–1\right).3x}{5y.3x}–\frac{\left(3x–1\right).y}{15x.y}$

$=\frac{3xy–3x–\left(3xy–y\right)}{15xy}=\frac{3xy–3x–3xy+y}{15xy}=\frac{y–3x}{15xy}$.

d)$\frac{1–x}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{1–x}{x^3}+\frac{1.x}{x^2.x}=\frac{1–x+x}{x^3}=\frac{1}{x^3}$.

e)$\frac{x–2y}{x{y}^2}–\frac{y–2x}{x^{2}y}=\frac{\left(x–2y\right).x}{x{y}^2.x}–\frac{\left(y–2x\right).y}{x^{2}y.y}$

$=\frac{x^2–2xy–y^2+2xy}{x^2{y}^2}=\frac{x^2–y^2}{x^2{y}^2}$.

g)$\frac{1–y^2}{3xy}+\frac{2y^3–1}{6x{y}^2}=\frac{\left(1–y^2\right).2y}{3xy.2y}+\frac{2y^3–1}{6x{y}^2}$

$=\frac{2y–2y^3+2y^3–1}{6x{y}^2}=\frac{2y–1}{6x{y}^2}$.

Bài 4 trang 22 Tập 1 :Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a)$\frac{b}{a–b}+\frac{a^2–3ab}{a^2–b^2}$;

b)$\frac{a+3}{a^2–1}–\frac{1}{a^2+a}$;

c)$\frac{2a}{a^2–4a+4}+\frac{4}{2–a}$;

d)$\frac{a+1}{a^3–1}–\frac{1}{a^2+a+1}$.

Lời giải:

a)$\frac{b}{a–b}+\frac{a^2–3ab}{a^2–b^2}$

$=\frac{b\left(a+b\right)}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}+\frac{a^2–3ab}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{ab+b^2+a^2–3ab}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a^2–2ab+b^2}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{{\left(a–b\right)}^2}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a–b}{a+b}$.

b)$\frac{a+3}{a^2–1}–\frac{1}{a^2+a}$

$=\frac{a+3}{\left(a+1\right)\left(a–1\right)}–\frac{1}{a\left(a+1\right)}$

$=\frac{a\left(a+3\right)}{a\left(a+1\right)\left(a–1\right)}–\frac{a–1}{a\left(a+1\right)\left(a–1\right)}$

$=\frac{a^2+3a–a+1}{a\left(a+1\right)\left(a–1\right)}$

$=\frac{a^2+2a+1}{a\left(a+1\right)\left(a–1\right)}$

$=\frac{{\left(a+1\right)}^2}{a\left(a+1\right)\left(a–1\right)}=\frac{a+1}{a\left(a–1\right)}$.

c)$\frac{2a}{a^2–4a+4}+\frac{4}{2–a}$

$=\frac{2a}{{\left(a–2\right)}^2}–\frac{4}{a–2}=\frac{2a}{{\left(a–2\right)}^2}–\frac{4\left(a–2\right)}{{\left(a–2\right)}^2}$

$=\frac{2a–4a+8}{{\left(a–2\right)}^2}=\frac{8–2a}{{\left(a–2\right)}^2}$.

d)$\frac{a+1}{a^3–1}–\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a+1}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}–\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a+1–\left(a–1\right)}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a+1–a+1}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{2}{a^3–1}$.

Bài 5 trang 22 Tập 1 :Tính:

a)$x–\frac{2x–y}{4}+\frac{x+4y}{12}$;

b)$\frac{y}{x}–\frac{x}{y}–\frac{x^2+y^2}{xy}$;

c)$\frac{4}{x+2}–\frac{3}{x–2}+\frac{12}{x^2–4}$;

d)$\frac{x+y}{x^2–xy}–\frac{4x}{x^2–y^2}–\frac{x–y}{x^2+xy}$.

Lời giải:

a)$x–\frac{2x–y}{4}+\frac{x+4y}{12}$

$=\frac{x.12}{12}–\frac{3\left(2x–y\right)}{12}+\frac{x+4y}{12}$

$=\frac{12x–6x+3y+x+4y}{12}=\frac{7x+7y}{12}$.

b)$\frac{y}{x}–\frac{x}{y}–\frac{x^2+y^2}{xy}$

$=\frac{y.y}{xy}–\frac{x.x}{xy}–\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2–x^2–x^2–y^2}{xy}$

$=\frac{–2x^2}{xy}=\frac{–2x}{y}$.

c)$\frac{4}{x+2}–\frac{3}{x–2}+\frac{12}{x^2–4}=\frac{4}{x+2}–\frac{3}{x–2}+\frac{12}{\left(x–2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{4\left(x–2\right)}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}–\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}+\frac{12}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}$

$=\frac{4x–8–3x–6+12}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}=\frac{x–2}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}=\frac{1}{x+2}$.

d)$\frac{x+y}{x^2–xy}–\frac{4x}{x^2–y^2}–\frac{x–y}{x^2+xy}$

$=\frac{x+y}{x\left(x–y\right)}–\frac{4x}{\left(x+y\right)\left(x–y\right)}–\frac{x–y}{x\left(x+y\right)}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{x\left(x–y\right)\left(x+y\right)}–\frac{4x^2}{x\left(x+y\right)\left(x–y\right)}–\frac{\left(x–y\right)\left(x–y\right)}{x\left(x–y\right)\left(x+y\right)}$

$=\frac{{\left(x+y\right)}^2–4x^2–{\left(x–y\right)}^2}{x\left(x+y\right)\left(x–y\right)}$

$=\frac{x^2+2xy+y^2–4x^2–\left(x^2–2xy+y^2\right)}{x\left(x+y\right)\left(x–y\right)}$

$=\frac{–3x^2+2xy+y^2–x^2+2xy–y^2}{x\left(x+y\right)\left(x–y\right)}=\frac{–4x^2+4xy}{x\left(x+y\right)\left(x–y\right)}$

$=\frac{–4x\left(x–y\right)}{x\left(x+y\right)\left(x–y\right)}=\frac{–4}{x+y}$.

Bài 6 trang 22 Tập 1 :Tính:

a)$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$;

b)$\frac{b–a}{ab}+\frac{c–b}{bc}–\frac{c–a}{ac}$.

Lời giải:

a)$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{1.c}{abc}+\frac{1.b}{abc}+\frac{1.a}{abc}=\frac{a+b+c}{abc}$.

b)$\frac{b–a}{ab}+\frac{c–b}{bc}–\frac{c–a}{ac}$

$=\frac{c\left(b–a\right)}{abc}+\frac{a\left(c–b\right)}{abc}–\frac{b\left(c–a\right)}{abc}$

$=\frac{bc–ac+ac–ab–bc+ab}{abc}$

$=\frac{\left(bc–bc\right)+\left(–ac+ac\right)+\left(–ab+ab\right)}{abc}$

$=\frac{0}{abc}=0$.

Bài 7 trang 23 Tập 1 :Tính giá trị của biểu thức:

a)$P=\frac{5}{a+b}+\frac{6}{a–b}–\frac{12b}{a^2–b^2}$tại a = 0,12 và b = – 0,11;

b)$Q=\frac{a^2+2a}{a^3–1}–\frac{1}{a^2+a+1}$tại a = 1,25.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:a²‒ b²≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$P=\frac{5}{a+b}+\frac{6}{a–b}–\frac{12b}{a^2–b^2}$

$=\frac{5}{a+b}+\frac{6}{a–b}–\frac{12b}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{5\left(a–b\right)}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}+\frac{6\left(a+b\right)}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}–\frac{12b}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{5a–5b+6a+6b–12b}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}=\frac{11a–11b}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{11\left(a–b\right)}{\left(a–b\right)\left(a+b\right)}=\frac{11}{a+b}$.

Vớia = 0,12vàb = ‒0,11, ta cóa²‒ b²≠ 0(điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó,$P=\frac{11}{0,12+\left(–0,11\right)}=\frac{11}{0,01}=1100$.

b) Điều kiện xác định:a³‒ 1 ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$Q=\frac{a^2+2a}{a^3–1}–\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a^2+2a}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}–\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a^2+2a}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}–\frac{a–1}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}$

$=\frac{a^2+2a–a+1}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}$

$=\frac{a^2+a+1}{\left(a–1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{1}{a–1}$.

Vớia = 1,25, ta cóa³‒ 1 ≠ 0(điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó,$Q=\frac{1}{1,25–1}=\frac{1}{0,25}=4$.

Bài 8 trang 23 Tập 1 :Cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h). Sau đó, cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h). Tính tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

Lời giải:

Thời giancô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h) là:$\frac{3}{x}$(giờ).

Thời giancô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h)là:$\frac{2}{x–1}$(giờ).

Vậytổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộlà:

$\frac{3}{x}+\frac{2}{x–1}=\frac{3\left(x–1\right)}{x\left(x–1\right)}+\frac{2x}{x\left(x–1\right)}=\frac{3x–3+2x}{x\left(x–1\right)}=\frac{5x–3}{x\left(x–1\right)}$(giờ).

Bài 9 trang 23 Tập 1 :Một đội công nhân cần sửa x (m) đường. Dự kiến đội sửa được trung bình y (m) đường mỗi ngày. Tuy nhiên, do thời tiết không thuận lợi nên đội chỉ sửa được trung bình z (m) đường mỗi ngày (z < y). Dự án hoàn thành muộn hơn bao lâu so với kế hoạch ban đầu?

Lời giải:

Thời gian dự kiến đội công nhân sửa được là:$\frac{x}{y}$(ngày).

Thời gian thực tế đội công nhân sửa được là:$\frac{x}{z}$(ngày).

Vậy dự án hoàn thành muộn hơn so với kế hoạch ban đầu là:

$\frac{x}{z}–\frac{x}{y}=\frac{xy}{zy}–\frac{xz}{yz}=\frac{xy–xz}{zy}$(ngày).

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 8 – CHÂN TRỜI SÁNG TẠO