Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {\log _5^{}b – 1} \right)\left( {a{{\log }_2}b – 6} \right) < 0\)?

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {\log _5^{}b – 1} \right)\left( {a{{\log }_2}b – 6} \right) < 0\)?

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(5\).

D. \(7\).

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có 2 trường hợp sau

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b – 1 < 0\\a{\log _2}b – 6 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b < 1\\{\log _2}b > \frac{6}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 5\\b > {2^{\frac{6}{a}}}\end{array} \right.\)

Để có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn thì điều kiện là \(2 \le {2^{\frac{6}{a}}} < 3 \Leftrightarrow 1 \le \frac{6}{a} < {\log _2}3 \Leftrightarrow 3,8 \simeq \frac{6}{{{{\log }_2}3}} < a \le 6\)

Suy ra trong trường hợp này ta chọn được \(a \in \left\{ {4;5;6} \right\}\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b – 1 > 0\\a{\log _2}b – 6 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}b > 1\\{\log _2}b < \frac{6}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 5\\b < {2^{\frac{6}{a}}}\end{array} \right.\)

Để có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn thì điều kiện là \(7 < {2^{\frac{6}{a}}} \le 8 \Leftrightarrow {\log _2}7 < \frac{6}{a} \le {\log _2}8 \Leftrightarrow 2 \le a < \frac{6}{{{{\log }_2}7}} \simeq 2,1\)

Suy ra trong trường hợp này ta chọn được \(a \in \left\{ 2 \right\}\).

Vậy \(a \in \left\{ {2;4;5;6} \right\}\) thì ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn đề bài.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.