Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _2^2x – 5{\log _2}x + 2m – 6 = 0\) có hai nghiệm thực \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 60\).

Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _2^2x – 5{\log _2}x + 2m – 6 = 0\) có hai nghiệm thực \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 60\).

A. \(m = 9\).

B. \(m = 3\).

C. không tồn tại.

D. \(m = 6\).

Lời giải:

\(\log _2^2x – 5{\log _2}x + 2m – 6 = 0\;\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(x > 0\)

Đặt \(t = {\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^t}\) thì phương trình tương đương \({t^2} – 5t + 2m – 6 = 0\)

\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương khi \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm khi và chỉ khi

\(\Delta = {5^2} – 4.1.(2m – 6) = 49 – 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{49}}{8}\)

Giả sử \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm \({t_1} = lo{g_2}{x_1},{t_2} = lo{g_2}{x_2}\) khi đó \({x_1}{x_2} = {2^{{t_1} + {t_2}}} = 32\).

Suy ra\(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 60 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 56 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 12\)

Vậy \({x_1},{x_2}\) là \(2\) nghiệm phương trình \({x^2} – 12x + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = 4\end{array} \right.\)

\(x = 8\) suy ra \(\log _2^2x – 5{\log _2}x + 2m – 6 = 0 \Leftrightarrow 2m – 12 = 0 \Leftrightarrow m = 6\)

\(x = 4\) suy ra \(\log _2^2x – 5{\log _2}x + 2m – 6 = 0 \Leftrightarrow 2m – 12 = 0 \Leftrightarrow m = 6\)

So với điều kiện suy ra \(m = 6\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.