Cho khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\), khoảng cách từ \(C\) đến \(BB’\) là \(\sqrt 5 \), khoảng cách từ \(A\) đến \(BB’\) và \(CC’\) lần lượt là \(1;\,\,2\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng\(A’B’C’\) là trung điểm \(M\) của \(B’C’\), \(A’M = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Cho khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\), khoảng cách từ \(C\) đến \(BB’\) là \(\sqrt 5 \), khoảng cách từ \(A\) đến \(BB’\) và \(CC’\) lần lượt là \(1;\,\,2\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng\(A’B’C’\) là trung điểm \(M\) của \(B’C’\), \(A’M = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{\sqrt {15} }}{3}\).

B. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).

C. \(\sqrt 5 \).

D. \(\frac{{2\sqrt {15} }}{3}\).

Lời giải:

Kẻ \(AI \bot BB’\), \(AK \bot CC’\) ( hình vẽ ).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(BB’\) và \(CC’\) lần lượt là \(1;\,\,2\)\( \Rightarrow AI = 1\), \(AK = 2\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có \(A’M = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\)\( \Rightarrow AF = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\)

Ta có \(\left. \begin{array}{l}AI \bot BB’\\BB’ \bot AK\end{array} \right\} \Rightarrow BB’ \bot \left( {AIK} \right)\)\( \Rightarrow BB’ \bot IK\).

Vì \(CC’//BB’\)\( \Rightarrow d(C,BB’)\)\( = d(K,BB’)\)\( = IK\)\( = \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \Delta AIK\) vuông tại \(A\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(IK\) \( \Rightarrow EF//BB’\) \( \Rightarrow EF \bot \left( {AIK} \right)\)\( \Rightarrow EF \bot AE\).

Lại có \(AM \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AIK} \right)\) là góc giữa \(EF\) và \(AM\) bằng góc \(\widehat {AME} = \widehat {FAE}\).

Ta có \(\cos \widehat {FAE} = \frac{{AE}}{{AF}}\)\( = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{3}}}\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {FAE} = 30^\circ \).

Hình chiếu vuông góc của tam giác \(ABC\) lên mặt phẳng \(\left( {AIK} \right)\) là \(\Delta AIK\) nên ta có: \({S_{AIK}} = {S_{ABC}}\cos \widehat {EAF}\) \( \Rightarrow 1 = {S_{ABC}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt 3 }} = {S_{ABC}}\).

Xét \(\Delta AMF\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat {AMF} = \frac{{AF}}{{AM}}\)\( \Rightarrow AM = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{3}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}}\)\( \Rightarrow AM = \sqrt 5 \).

Vậy \({V_{ABC.A’B’C’}} = \sqrt 5 .\frac{2}{{\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.