Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),\(AB = a\sqrt 3 ,AC = a\). Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\) và hình chiếu của \(S\)lên mặt phẳng \((ABC)\) nằm trong tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),\(AB = a\sqrt 3 ,AC = a\). Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\) và hình chiếu của \(S\)lên mặt phẳng \((ABC)\) nằm trong tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{8}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).

D. \(\frac{{{a^3}}}{{16}}\).

Lời giải:

Ta sử dụng kết quả sau:

Cho \((\alpha ) \cap \left( \beta \right) = d,A \in (\alpha ),A \notin d\). Ta có: \(sin\widehat {\left( {(\alpha ),\left( \beta \right)} \right) = }\frac{{d\left( {A,\left( \beta \right)} \right)}}{{d\left( {A,d} \right)}}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\)lên mặt phẳng \((ABC)\) và \(D,E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\)lên \(AB,BC,CA\).

Ta có: \(sin\widehat {\left( {(SAB),\left( {ABC} \right)} \right)} = sin\widehat {SDH} = \frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,AB} \right)}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SDH} = {45^0}\).

\(sin\widehat {\left( {(SBC),\left( {ABC} \right)} \right)} = sin\widehat {SEH} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SEH} = {30^0}\).

\(sin\widehat {\left( {(SAC),\left( {ABC} \right)} \right)} = sin\widehat {SFH} = \frac{{d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B,AC} \right)}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SFH} = {30^0}\).

Từ đó: \(DH = SH,EH = FH = \sqrt 3 SH\).

Mặt khác: \(DH.AB + EH.BC + FH.CA = 2{S_{ABC}}\).

\( \Leftrightarrow SH.a\sqrt 3 + \sqrt 3 SH.2a + \sqrt 3 SH.a = \sqrt 3 {a^2}\)

\( \Leftrightarrow SH = \frac{a}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.