Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A’B’C’\) có tam giác \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(\widehat {BAC} = {120^0}\), \(AB = a\) và \(AA’ = 2a\sqrt 2 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\)

Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A’B’C’\) có tam giác \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(\widehat {BAC} = {120^0}\), \(AB = a\) và \(AA’ = 2a\sqrt 2 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\)

A. \(4{a^3}\pi \).

B. \(12\sqrt 3 {a^3}\pi \).

C. \(4\sqrt 3 {a^3}\pi \).

D. \(\frac{4}{3}{a^3}\pi \).

Lời giải:

Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(CB\) và \(M’\) là điểm đối xứng với \(A’\) qua \(C’B’\).

Ta có \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và \(AB = AC\) nên \(ABMC\) là hình thoi và \(MA = MB = MC\)

Suy ra \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta ABC\)

Gọi \(O\) là trung điểm của \(MM’\) khi đó \(OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’ = R\) nên \(O\)là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A’B’C’\).

Ta có \(OM = \frac{1}{2}MM’ = a\sqrt 2 \) suy ra \(R = AO = \sqrt {A{M^2} + M{O^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 a\)

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {(\sqrt 3 a)^3} = 4\sqrt 3 {a^3}\pi \).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.