Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a,\,BC = a\sqrt 2 \), thể tích bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\). Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABC} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a,\,BC = a\sqrt 2 \), thể tích bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\). Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABC} \right)\).

A. \(\frac{{2a\sqrt {11} }}{{\sqrt {23} }}\).

B. \(\frac{{2a\sqrt {11} }}{{\sqrt {46} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

D. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {46} }}\).

Lời giải:

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,BC\).

Giả sử \(SB = SC = AB = AC = x\).

Ta có \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) nên \(SN \bot BC\) (1), \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AN \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {SAN} \right)\).

Vì \(\Delta SBC = \Delta ABC\)\( \Rightarrow SN = AN\)\( \Rightarrow \Delta SAN\) cân tại \(N\)\( \Rightarrow MN \bot SA\).

Ta có \({V_{B.SNA}} = {V_{C.SNA}}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{B.SNA}}\)\( = 2.\frac{1}{3}.BN.{S_{\Delta SNA}} = \frac{2}{3}.BN.\frac{1}{2}.MN.SA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}.MN.a\)\( = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.MN\).

Theo giả thiết \({V_{S.ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6} \Rightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.MN = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( * \right)\).

Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\), ta có:

\(M{N^2} = A{N^2} – A{M^2} = A{B^2} – B{N^2} – A{M^2}\)\( = {x^2} – {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} – {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {x^2} – \frac{{3{a^2}}}{4}\).

Từ \(\left( * \right)\) ta có \({x^2} – \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{11{a^2}}}{2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25{a^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.a\).

Khi đó: \(A{N^2} = A{B^2} – B{N^2} = \frac{{25{a^2}}}{4} – \frac{{2{{\rm{a}}^2}}}{4} = \frac{{23{a^2}}}{4} \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt {23} }}{2}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.