GIẢI CHI TIẾT Giải SBT Bài 21 Chương 7 – SBT Toán 10 KNTT
============
Giải bài 7.19 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:
a) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 8} \right)^2} = 49\)
b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 23\)
Phương pháp giải
Phương trình đường tròn \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R
Lời giải chi tiết
a) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 8} \right)^2} = 49\) có tâm \(I\left( {2;8} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {49} = 7\)
b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 23\) có tâm \(I\left( { – 3;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {23} \)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.20 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn? Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của nó
a) \({x^2} + 2{y^2} – 4x – 2y + 1 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} – 4x + 3y + 2xy = 0\)
c) \({x^2} + {y^2} – 8x – 6y + 26 = 0\)
d) \({x^2} + {y^2} + 6x – 4y + 13 = 0\)
e) \({x^2} + {y^2} – 4x + 2y + 1 = 0\)
Phương pháp giải
Phương trình: \({x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi: \({a^2} + {b^2} – c > 0\) khi đó \(I\left( {a;b} \right),R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)
Lời giải chi tiết
a) \({x^2} + 2{y^2} – 4x – 2y + 1 = 0\)
Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau
b) \({x^2} + {y^2} – 4x + 3y + 2xy = 0\)
Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn, vì trong phương trình đường tròn không chứa \(xy\)
c) \({x^2} + {y^2} – 8x – 6y + 26 = 0\)
+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 4,b = 3,c = 26\)
+ Tính \({a^2} + {b^2} – c = {3^2} + {4^2} – 26 = – 1 < 0\)
\(\Rightarrow \) Đây không phải là phương trình của đường tròn
d) \({x^2} + {y^2} + 6x – 4y + 13 = 0\)
+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = – 3,b = 2,c = 13\)
+ Tính \({a^2} + {b^2} – c = {\left( { – 3} \right)^2} + {2^2} – 13 = 0\)
\(\Rightarrow \) Đây không phải là phương trình của đường tròn
e) \({x^2} + {y^2} – 4x + 2y + 1 = 0\)
+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 2,b = – 1,c = 1\)
+ Tính \({a^2} + {b^2} – c = {2^2} + {\left( { – 1} \right)^2} – 1 = 4 > 0\), nên phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {2; – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.21 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Viết phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:
a) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\)
b) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { – 1;7} \right)\)
c) Có tâm \(I\left( {2; – 4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x – 2y – 1 = 0\)
d) Có đường kính AB với \(A\left( {4;1} \right)\) và \(B\left( { – 2; – 5} \right)\)
Phương pháp giải
Viết phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R là \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết
a) Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\):
\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = {2^2} = 4\)
b) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { – 1;7} \right)\)
+ \(R = IM = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = \sqrt {52} \)
+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 52\)
c) Có tâm \(I\left( {2; – 4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x – 2y – 1 = 0\)
+ \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 – 2\left( { – 4} \right) – 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \sqrt {13} \)
+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)
d) Có đường kính AB với \(A\left( {4;1} \right)\) và \(B\left( { – 2; – 5} \right)\)
+ I là trung điểm của AB nên \(A\left( {1; – 2} \right)\)
+ \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \)
+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 18\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.22 trang 41 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta 😡 + y – 1 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {6;2} \right),B\left( { – 1;3} \right)\)
Phương pháp giải
+ Gọi điểm I thuộc đường thẳng \(\Delta 😡 + y – 1 = 0 \Rightarrow I\left( {t;1 – t} \right)\)
Lời giải chi tiết
+ \(IA = IB \Rightarrow {\left( {t – 6} \right)^2} + {\left( { – 1 – t} \right)^2} = {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( { – 2 – t} \right)^2}\)
\( \Rightarrow {t^2} – 12t + 36 = {t^2} + 4t + 4 \Rightarrow 16t = 32 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow I\left( {2; – 1} \right)\)
+ \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.23 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Cho đường thẳng \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 6x – 4y – 12 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0, – 2} \right)\)
Phương pháp giải
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm M có vector pháp tuyến là IM với I là tâm đường tròn \(\left( C \right)\)
Lời giải chi tiết
+ \({x^2} + {y^2} + 6x – 4y – 12 = 0 \Rightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 25 \Rightarrow I\left( { – 3;2} \right)\)
+ Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0, – 2} \right)\) vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM} = \left( {3; – 4} \right)\)
+ Phương trình đường thẳng \(\Delta :3\left( {x – 0} \right) – 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Rightarrow \Delta :3x – 4y – 8 = 0\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.24 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Cho điểm \(A\left( {4;2} \right)\) và hai đường thẳng \(d:3x + 4y – 20;d’:2x + y = 0\)
a) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d
b) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A
Phương pháp giải
Áp dụng các quan hệ vuông góc và song song để tìm ra các vector pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng
Lời giải chi tiết
a) \(\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{v_\Delta }} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; – 3} \right)\)
Phương trình đưởng thẳng \(\Delta \) có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; – 3} \right)\) và đi qua \(A\left( {4;2} \right)\) là \(4\left( {x – 4} \right) – 3\left( {y – 2} \right) = 0 \Rightarrow 4x – 3y – 10 = 0\)
b) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A
+ Tâm I thuộc đường thẳng d’ \( \Rightarrow I\left( {t; – 2t} \right)\)
+ Phương trình đưởng tròn tiếp xúc với d tại A \( \Rightarrow IA \bot d’ \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {{v_d}} = 0 \Rightarrow \left( {t – 4; – 2t – 2} \right).\left( {1; – 2} \right) = 0 \Rightarrow t – 4 + 4t + 4 = 0 \Rightarrow t = 0\)
\( \Rightarrow I\left( {0;0} \right)\)
+ \(IA = R = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \)
+ Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} = 20\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.25 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Cho đường tròn \(\left( C \right)\), đường thẳng \(\Delta \) có phương trình lần lượt là:
\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2,x + y + 2 = 0\)
a) Chứng minh \(\Delta \) là một tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\), biết rằng d song song với đường thẳng \(\Delta \)
Phương pháp giải
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\) khi \(d\left( {I,d} \right) = R\)
Lời giải chi tiết
a) \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\) có \(I\left( {1; – 1} \right),R = \sqrt 2 \)
Tính \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 – 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 = R\)
Nên d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\)
b)
+ d song song với đường thẳng \(\Delta \) \(\Rightarrow \) \(d:x + y + c = 0\left( {c \ne 2} \right)\)
+ d là tiếp tuyến của \(C\left( {I,R} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 – 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Rightarrow \left| c \right| = 2 \Rightarrow c = – 2\)
\( \Rightarrow d:x + y – 2 = 0\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.26 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Cho đường thẳng \(\Delta :x\sin {\alpha ^ \circ } + ycos{\alpha ^ \circ } – 1 = 0\), trong đó \(\alpha \) là một số thực thuộc khoảng \(\left( {0;180} \right)\)
a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng \(\Delta \)
b) Chứng minh rằng khi \(\alpha \) thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng d
Phương pháp giải
Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| { – 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sin {\alpha ^ \circ }} \right)}^2} + {{\left( {cos{\alpha ^ \circ }} \right)}^2}} }} = 1\)
b) Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm O(0;0) bán kính \(R = 1\), đường tròn này cố định.
Ta chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng d với mọi \(\alpha\).
Vì \(d\left( {O,\Delta } \right) = 1 = R, \forall \alpha\) nên \(\left( C \right)\) luôn tiếp xúc với \(\Delta \). Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là \({x^2} + {y^2} = 1\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
Giải bài 7.27 trang 42 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT
Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có tọa độ là \(\left( {3 + 5\sin {t^ \circ };4 + 5cos{t^ \circ }} \right)\). Tìm tọa độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc tọa đô nhất.
Phương pháp giải
+ Từ cách xác định tọa độ của chất điểm M ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3 + 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} = 4 + 5cos{t^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} – 3 = 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} – 4 = 5cos{t^ \circ }\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {{x_M} – 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} – 4} \right)^2} = 25\)
Lời giải chi tiết
Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;4} \right)\) và có bán kính \(R = 5\). Mặt khác gốc tọa độ O cũng thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Do đó ta có \(OM \le 2R = 10\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(OM\) là đường đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), tức là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_1} – {x_0}\\{y_M} = 2{y_1} – {y_0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {t^ \circ } = \frac{3}{5}\\cos{t^ \circ } = \frac{4}{5}\end{array} \right.\) (có \(t \in \left( {0;180} \right)\)thỏa mãn hệ)
Vậy \(M\left( {6;8} \right)\)
GIẢI SBT Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21
=========
THUỘC: Giải sách bài tập toán 10 – Kết nối
Để lại phản hồi