Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y = {8^y}\)?

Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y = {8^y}\)?

A. \(2019\). B. \(2018\). C. \(1\). D. \(4\).
Lời giải

Do \(0 \le x \le 2020\) nên \({\log _2}\left( {2x + 2} \right)\) luôn có nghĩa.
Ta có \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y = {8^y}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 3y + {2^{3y}}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + {2^{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}} = 3y + {2^{3y}}\) \(\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {2^t}\).
Tập xác định \(D = R\) và \(f’\left( t \right) = 1 + {2^t}\ln 2\)\( \Rightarrow \)\(f’\left( t \right) > 0\), \(\forall t \in R\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(R\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3y\)\( \Leftrightarrow x + 1 = {2^{3y}}\)\( \Leftrightarrow y = {\log _8}\left( {x + 1} \right)\).
Ta có \(0 \le x \le 2020\) nên \(1 \le x + 1 \le 2021\) suy ra \(0 \le {\log _8}\left( {x + 1} \right) \le {\log _8}2021\).
Lại có \({\log _8}2021 \approx 3,66\) và \(y \in Z\) nên \(y \in \left\{ {0\,;1\,;2\,;\left. 3 \right\}} \right.\).
Vậy có 4 cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\)nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp \(\left( {0\,;0} \right)\), \(\left( {7\,;1} \right)\) ,\(\left( {63\,;2} \right)\),\(\left( {511\,;3} \right)\).

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.