Lý thuyết Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ – Toán 10 Cánh Diều

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Ví dụ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b  = \left( {4; – 2} \right)\). Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  – \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , – 5\overrightarrow b \)

Giải

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 + 4;5 + \left( { – 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\
\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {1 – 4;5 – \left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 3;7} \right);\\
3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\
 – 5.\overrightarrow b  = \left( { – 5.4; – 5.\left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 20;10} \right)
\end{array}\)

1.2. Toạ độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

+ Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Toa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\)

+ Cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Toa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác ABC là:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\)

Ví dụ

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: \({x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\). Vậy \(E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)

Ta có: \({x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Vậy \(G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; – 1), C(8; 0).

a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(cos\widehat {ABC}\).

b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \). 

c) Giải tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {7;1} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.7 + 3.1 = 10\).

Mặt khác, ta cũng có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} ,\\
cos\widehat {ABC} = cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}
\end{array}\) 

b) Do \(\overrightarrow {AB}  = \left( { – 1; – 3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {6; – 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { – 1} \right).6 + \left( { – 3} \right).\left( { – 2} \right) = 0\). 

Vậy \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \). 

c) Do \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\), tức là tam giác ABC vuông tại A.

Mà \(cos\widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^0}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^0} – {63^0} = {27^0}\).

Mặt khác, ta có: 

\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} ,\\
BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 ,\\
CA = \sqrt {B{C^2} – A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {10} 
\end{array}\) 

Câu 1: 

a) Cho \(\overrightarrow u  = \left( { – 2;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;6} \right),\overrightarrow w  = \left( { – 2;3} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \)

b) Cho \(\overrightarrow u  = \left( {\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w \)sao cho \(\overrightarrow w  + \overrightarrow u  = \overrightarrow v \)

Hướng dẫn giải

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \) là: \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w  = \left( { – 2 + 0 + \left( { – 2} \right);0 + 6 + 3} \right) = \left( { – 4;9} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow w  + \overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow w  = \overrightarrow v  – \overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow w  = \left( {0 – \sqrt 3 ; – \sqrt 7  – 0} \right) = \left( { – \sqrt 3 ; – \sqrt 7 } \right)\)

Câu 2:  Cho ba điểm A(-1; 1), B(1;5), G(1 ; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải 

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {AG}  = \left( {2;1} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k.\overrightarrow {AG} \) nên A, B, G không thẳng hàng

b) Giả sử C có tọa độ là: \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\)

Để G là trọng tâm tam giác ABC thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} – {x_A} – {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} – {y_A} – {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3.1 – \left( { – 1} \right) – 1 = 3\\{y_C} = 3.2 – 1 – 5 = 0\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là: \(C\left( {3;0} \right)\)

============

Thuộc chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng