Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 16} \right) < 0?\)

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 16} \right) < 0?\)

A. \(34\). B. \(32\). C. \(31\). D. \(33\).

Lời giải

Ta có: \(a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \ge 1;\,b \in Z\)

\(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right)\end{array} \right.\)

*) TH1: \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) > 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{a} > 2 \Leftrightarrow 0 < a < 8\). Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái của BPT là

\(b\)	\( – \infty \) 1 \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right)\) \( + \infty \)
VT	+ 0 – 0 +

Để với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thì \(b \in \left\{ {2;\,3} \right\}\) nên

\(3 < {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) \le 4 \Leftrightarrow 9 < \frac{{16}}{a} \le 16 \Leftrightarrow 1 \le a < \frac{{16}}{9} \Rightarrow \)có 1 giá trị thỏa mãn là\(a = 1\).

*) TH2: \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) < 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{a} < 2 \Leftrightarrow a > 8\). Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái của BPT là

\(b\)	\( – \infty \) \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right)\) 1 \( + \infty \)
VT	+ 0 – 0 +

Để với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thì \(b \in \left\{ { – 1;\,0} \right\}\) nên

\( – 2 \le {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) <  – 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le \frac{{16}}{a} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 32 < a \le 64 \Rightarrow a \in \left\{ {33\,;\,34\,;…64} \right\}\).

Trường hợp này có 32 số thỏa mãn

Vậy có tất cả 33 số thỏa mãn.

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.