(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f’\left( x \right) – 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x – 1}}{2}}},\,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = {e^2}\). Biết \(f\left( 3 \right) = a.{e^b} + c\) với \(a\,,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} b\,,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} c{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in \mathbb{N}\). Tính \(2a{\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3b{\kern 1pt} {\kern 1pt} + 4

C.\)

A. \(36\).

B. \(30\).

C. \(24\).

D. \(32\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có: \(f’\left( x \right) – 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x – 1}}{2}}},\,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x \in \mathbb{R}\).

Nhân 2 vế cho \({e^{ – 2x}}\) ta được: \({e^{ – 2x}}.f’\left( x \right) – 2.{e^{ – 2x}}.f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}\).

\( \Rightarrow {e^{ – 2x}}.f’\left( x \right) + {\left( {{e^{ – 2x}}} \right)^\prime }.f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}} \Rightarrow {\left( {\left( {{e^{ – 2x}}} \right).f\left( x \right)} \right)^\prime } = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 2x}}} \right).f\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}dx + C} \)

\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 2x}}} \right).f\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x + C} \)

Đặt \(H = \int {\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} \)

\(H = \int {\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^2}{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} + \int {{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} \) \(\left( * \right)\)

Ta tìm \(\int {{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} \) bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}\\{\rm{dv}} = {\rm{d}}x\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = x.{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x\\{\rm{v}} = x\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\int {{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} = x{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}} – \int {{x^2}{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} \)

Thế vào \(\left( * \right)\) ta được: \(H = \int {\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^2}{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} + x{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}} – \int {{x^2}{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}{\rm{d}}x} = x{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}} + C\)

\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 2x}}} \right).f\left( x \right) = x{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = {e^2}\)

Ta cho \(x = 1\)\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 2}}} \right).f\left( 1 \right) = 1.{e^0} + C\)\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 2}}} \right).{e^2} = 1.{e^0} + C \Rightarrow C = 0\)\(\)

\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 2x}}} \right).f\left( x \right) = x{e^{\frac{{{x^2} – 1}}{2}}}\)

Để tính \(f\left( 3 \right)\) ta chọn \(x = 3\)\( \Rightarrow \left( {{e^{ – 6}}} \right).f\left( 3 \right) = 3{e^4} \Rightarrow f\left( 3 \right) = 3{e^{10}} = a.{e^b} + c\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 10\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2a{\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3b{\kern 1pt} {\kern 1pt} + 4c = 36\).