Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + cx + 1\) và \(g\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng diện tích miền tô đậm bằng 2, với \(a\) và \(c\) là các số nguyên. Tính giá trị \(a.c\)?

A. 2. B. \( – 2\). C. 1. D. 0. Lời giải: Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right)\) đi qua điểm \(\left( {2\,;\,0} \right)\)\( \Rightarrow g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f\left( { – 1} \right) = 0 \Rightarrow – a – c + 1 = 0\) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {a{x^3} + cx + 1} \right) = – \infty \) nên suy ra \(a < 0\). Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị \(f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\): \(a{x^3} + cx + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {a{x^2} + c} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\a{x^2} + c = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị \(f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow – \frac{c}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow c > 0\) . Khi đó \(a{x^2} + c = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { – \frac{c}{a}} \). Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị \(g\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right)\) và đường thẳng \(y = 1\): \(a{\left( {1 – x} \right)^3} + c\left( {1 – x} \right) + 1 = 1 \Leftrightarrow \left( {1 – x} \right)\left[ {a{{\left( {1 – x} \right)}^2} + c} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\a{\left( {1 – x} \right)^2} + c = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị \(g\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Khi đó: \(a{\left( {1 – x} \right)^2} + c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 – x = \sqrt { – \frac{c}{a}} \\1 – x = – \sqrt { – \frac{c}{a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 – \sqrt { – \frac{c}{a}} \\x = 1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} \end{array} \right.\). Diện tích phần tô đậm: \(S = \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} + \int\limits_1^{1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \). Xét \({I_1} = \int\limits_1^{1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \). Đặt \(t = 1 – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x\). Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 0\), \(x = 1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} \Rightarrow t = – \sqrt { – \frac{c}{a}} \). Suy ra \({I_1} = \int\limits_1^{1 + \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {1 – f\left( t \right)} \right]} \left( { – {\rm{d}}t} \right) = – \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( t \right) – 1} \right]} {\rm{d}}t = – \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \) Như vậy \(S = \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} – \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \). Do hàm số \(f\left( x \right) – 1 = a{x^3} + cx\) là hàm số lẻ nên \( – \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – \sqrt { – \frac{c}{a}} }^0 {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \) suy ra \(S = 2\int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} \Rightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = 2 \Rightarrow \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = 1\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\sqrt { – \frac{c}{a}} } {\left( {a{x^3} + cx} \right){\rm{d}}x} = 1 \Rightarrow \frac{{a{x^4}}}{4} + \frac{{c{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\sqrt { – \frac{c}{a}} }}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{a{{\left( {\sqrt { – \frac{c}{a}} } \right)}^4}}}{4} + \frac{{c{{\left( {\sqrt { – \frac{c}{a}} } \right)}^2}}}{2} = 1\\ \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{{4a}} – \frac{{{c^2}}}{{2a}} = 1 \Rightarrow – {c^2} = 4a\end{array}\) Mà \( – a – c + 1 = 0\), nên \( – {c^2} = 4\left( {1 – c} \right) \Leftrightarrow {c^2} – 4c + 4 = 0 \Leftrightarrow c = 2 \Rightarrow a = 1 – 2 = – 1\). Vậy \(ac = – 2\).