Trong không gian  cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 – 3t\end{array} \right.\). Ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho \(MA\), \(MB\), \(MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(D\left( {1;1;2} \right)\). Tổng \(T = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\) bằng

Trong không gian cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 – 3t\end{array} \right.\). Ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho \(MA\), \(MB\), \(MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(D\left( {1;1;2} \right)\). Tổng \(T = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\) bằng
A. \(30\)

B. \(26\)

C. \(20\)

D. 21
Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R\). Gọi \(M\left( {1 + {t_0};1 + 2{t_0};2 – 3{t_0}} \right) \in d\).
Gỉa sử \(T\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right)\) là một tiếp điểm của tiếp tuyến \(MT\) với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó \(O{T^2} + M{T^2} = O{M^2}\)\( \Leftrightarrow 9 + {\left[ {x – \left( {1 + {t_0}} \right)} \right]^2} + {\left[ {y – \left( {1 + 2{t_0}} \right)} \right]^2} + {\left( {z – \left( {2 – 3{t_0}} \right)} \right)^2} = {\left( {1 + {t_0}} \right)^2} + {\left( {1 + 2{t_0}} \right)^2} + {\left( {2 – 3{t_0}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {1 + {t_0}} \right)x + \left( {1 + 2{t_0}} \right) + \left( {2 – 3{t_0}} \right)z – 9 = 0\).

Suy ra phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có dạng \(\left( {1 + {t_0}} \right)x + \left( {1 + 2{t_0}} \right)y + \left( {2 – 3{t_0}} \right)z – 9 = 0\)

Do \(D\left( {1;1;2} \right) \in \left( {ABC} \right)\) nên \(1 + {t_0} + 1 + 2{t_0} + 2.\left( {2 – 3t} \right) – 9 = 0\)\( \Leftrightarrow {t_0} = – 1\)\( \Rightarrow M\left( {0; – 1;5} \right)\).

Vậy \(T = {0^2} + {\left( { – 1} \right)^2} + {5^2} = 26\).