Câu hỏi:
Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho hai mặt phẳng\(\left( P \right):2x – y + 3z – 3 = 0;\,\left( Q \right):x – y + 2z – 3 = 0\). Phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của\(\left( P \right),\,\left( Q \right)\) và cắt tia \(Ox,Oy,Oz\) tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \({V_{OABC}} = 6\) đi qua điểm nào sau đây
A. \(A\left( {1;1;1} \right)\).
B. \(B\left( {1;2;1} \right)\).
C. \(C\left( {1; – 2;1} \right)\).
D. \(D\left( {1; – 2; – 1} \right)\).
Lời giải
Tọa độ điểm nằm trên giao tuyến \(\Delta = \left( P \right) \cap \,\left( Q \right)\)thỏa mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 3z – 3 = 0}\\{x + y + 2z – 3 = 0}\end{array}} \right.\).
Chọn điểm \(M(0;3;0);\,N( – 5; – 2;5)\)thuộc \(\Delta = \left( P \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt tia \(Ox,Oy,Oz\) tại các điểm \(A,B,C\) gọi\(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\). Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{y}{c} = 1\).
Do điểm \(M(0;3;0);\,N( – 5; – 2;5)\)thuộc \(\left( \alpha \right)\) nên ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{b} = 1}\\{\frac{{ – 5}}{a} + \frac{{ – 2}}{b} + \frac{5}{c} = 1}\end{array}} \right.\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có \({V_{OABC}} = 6 \Leftrightarrow \frac{1}{6}OA.OB.OC = 6 \Leftrightarrow abc = 36\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 3}\\{a = 6}\\{c = 2}\end{array}} \right.\,\,\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{y}{2} = 1\).
Thay các tọa độ điểm vào ta có A là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Để lại phản hồi